实验1动态规划——小明打王者

问题：

小明想要在王者荣耀游戏里晋升一个段位，假设他一共需打了n场比赛，且必须成功赢得至少70%的场次才能成功晋升。假设每场比赛小明获胜的概率分别为p1，p2，…，pn，请帮他算出成功晋级段位的概率是多少？

输入：
参数1：整数num（0<=num<=1000），表示比赛的场数。参数2：整数数组p[num] = {p1，p2，…，pnum}，其中pi表示小明有pi%的概率赢得第i场比赛。（0<=pi<=100）

输出：
成功晋级段位的概率，保留小数点后5位，最后结果四舍五入。

分析：

——分析最优子结构：首先确定描述原问题以及其子问题的统一结构。设a[i][j]表示小明已经进行了i场比赛并且赢了j场的概率，那么问题转化为求a[num][0.7*num]（其中0.7*num向上取整）一直加到a[num][num]的结果。对于a[i][j]而言，由于其仅有一个精确解而非一个优化问题，因此将其解视为最优解，a[i][j]的解取决于其子结构（子问题）的解：若第i场输了，那么前i场赢j场的概率等于前i-1场赢j场的概率乘以第i场输的概率；若第i场赢了，那么前i场赢j场的概率等于前i-1场赢j-1场的概率乘以第i场赢的概率。可以说，父问题有（最优）解时，子问题也有（最优）解，即具有最优子结构性质。

——确定递推关系：根据最优子结构，可以得出递推公式如下：a[i][j] = a[i-1][0] * (1 - P[i]) , j=0 ; a[i][j] = a[i-1][j] * (1-P[i]) + a[i-1][j-1] * P[i] , j>0;

——计算最优值：初始化最小子问题：a[0][0] = 1，a[k][k] = p1p2…pk;根据递推公式，画出求解矩阵a的顺序：

1
TBD1	P1
TBD2	TBDnum+1	…
TBD3	…	…	…
TBD4	…	…	…	…
…	…	…	…	…	…
TBDnum	…	…	…	…	…	p1p2…pnum

首先根据题意，i>=j，则矩阵只需求解对角线及左下半部分。初始化矩阵的对角线。根据递推公式，计算第一列的所有元素需要其上方的元素，计算其它列的元素需要其上方和左上方的元素，因此按照图中的TBD标号顺序逐列求解即可。

——求最优解：由于本题只需给出晋级概率，故不需额外空间来记录问题轨迹并traceback

伪代码：

for i = 1 to num doa[i][i] = a[i - 1][i - 1] * 0.01d * p[i - 1]for j = 0 to num - 1 dofor i = j + 1 to num doif j = 0a[i][0] = a[i + j - 1][0] * (1 - 0.01d * p[i - 1])elsea[i][j] = a[i - 1][j] * (1 - 0.01d * p[i - 1]) + a[i - 1][j - 1] * 0.01d * p[i - 1]for i = ceil(0.7 * num) to numpass += a[num][i]

代码：

public class GamePassProbability {// 计算小明晋级成功的可能性// 输入：int数组p表示每一局的获胜可能性，int数字num表示一共要打多少局// 输出：小明晋级的可能性public static double calculatePassProbability(int[] p, int num) {double pass = 0.0d;// 最终结果double[][] a = new double[num + 1][num + 1];// 子问题记录矩阵// 初始化矩阵，对角线赋值a[0][0] = 1.0d;for (int i = 1; i <= num; i++) {a[i][i] = a[i - 1][i - 1] * 0.01d * p[i - 1];}// 依次计算矩阵内容，按照列顺序自上而下计算for (int j = 0; j <= num - 1; j++) {// 先枚举列for (int i = j+1; i <= num; i++) {// 再枚举行if (j == 0)// 第一列a[i][0] = a[i + j - 1][0] * (1 - 0.01d * p[i - 1]);else {// 其他列a[i][j] = a[i - 1][j] * (1 - 0.01d * p[i - 1]) + a[i - 1][j - 1] * 0.01d * p[i - 1];}}}a[0][0] = 1.0d;// 得出结果int s = (int) Math.ceil(0.7 * num);// 向上取整for (int i = s; i <= num; i++)pass += a[num][i];return pass;}public static void main(String[] args) {int[] p1 = { 50, 50, 50, 50 };int[] p2 = { 80, 80, 90, 90, 99 };int[] p3 = {};double result1 = calculatePassProbability(p1, 4);double result2 = calculatePassProbability(p2, 5);double result3 = calculatePassProbability(p3, 0);System.out.println(result1);System.out.println(result2);System.out.println(result3);}}

复杂度分析：

——输入规模大小：序列p长度num，此处记为n

——基本操作次数：根据递推式计算a[i][j]

——输入情况：只与问题的规模有关，和问题的输入好坏无关

——时间复杂度：算法是非递归的，直接累加求和就可以得到其时间复杂度为O(n²)

——空间复杂度：额外空间为O(n²)

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