信息学奥赛一本通 1967：【14NOIP普及组】螺旋矩阵 | 洛谷 P2239 [NOIP2014 普及组] 螺旋矩阵

【题目链接】

ybt 1967：【14NOIP普及组】螺旋矩阵
洛谷 P2239 [NOIP2014 普及组] 螺旋矩阵

类似考题：
洛谷 P1014 [NOIP1999 普及组] Cantor 表

【题目考点】

1.二维数组

【解题思路】

记输入的目标位置为(ai, aj)
如果暴力移动焦点，在二位数组中蛇形填写数字，因为数组边长达到30000，数组元素个数为30000∗30000=9∗10830000*30000=9*10^830000∗30000=9∗108，默认计算机1s可以进行小于10810^8108次运算，这样做一定会超时。
每圈的元素个数是容易求的，如果每次移动一圈，到(ai，aj)所在的圈时再一个一个格子移动，这样移动次数就会大大减少。
第1圈边长为n，元素个数为4*(n-1)
第2圈边长为n-2，元素个数为4*(n-2-1)
…
第i圈边长为n-2*(i-1)，元素个数为4*(n-2*(i-1)-1)
每圈边长比上一圈少2，元素个数为4*(边长-1)

第i圈:上面一行的行坐标为：i，下面一行行坐标为：n-i+1，左侧一列列坐标为：i，右侧一列列坐标为n-i+1。
如果目标位置：(ai, aj)的行坐标ai为i或n-i+1，或列坐标aj为i或n-i+1，说明(ai,aj)在第i圈。然后可以有两种方法确定(ai, aj)位置的值。

解法1：移动焦点

第i圈边长为l=n-2*(i-1)，将一圈分为等长的四部分，每部分长度为:l-1。焦点从左上角出发，向右移动l-1次后，焦点指向右上角；再向下移动l-1次后，焦点指向右下角；再向左移动l-1次，焦点指向左下角；再向上移动l-1次，完成对第i圈的遍历。
在这一过程中，记录到每个位置时数组元素值。如果遍历到(ai, aj)，输出该值。

解法2：坐标计算

记第i圈左上角位置(i,i)的值为st，边长为l。那么右上角(i,n-i+1)的值为：st+l-1，右下角(n-i+1,n-i+1)的值：st+(l-1)*2，左下角(n-i+1,i)的值：st+(l-1)*3。

如果目标位置在第i行，需要从左上角(i,i)移动到(ai,aj)位置，移动aj-i次，值需要加aj-i，那么(ai,aj)位置的值为st+aj-i
如果目标位置在第n-i+1列，需要从右上角(i,n-i+1)移动到(ai,aj)位置，移动ai-i次，那么(ai,aj)位置的值为st+(l-1)+ai-i
如果目标位置在第n-i+1行，需要从右下角(n-i+1,n-i+1)移动到(ai,aj)位置，移动n-i+1-aj次，那么(ai,aj)位置的值为st+2*(l-1)+(n+1-i)-aj
如果目标位置在第i列，需要从左下角(n-i+1,i)移动到(ai,aj)位置，移动n-i+1-ai次，那么(ai,aj)位置的值为st+3*(l-1)+(n+1-i)-ai

【题解代码】

解法1：移动焦点

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{int n, ai, aj, i, st, l;//求(ai,aj)的数 st:该圈起始数字 int dir[4][2] = {{0,1},{1,0},{0,-1},{-1,0}};//右下左上 cin >> n >> ai >> aj;st = 1, l = n;//st:起始数字， l:该圈边长 for(i = 1; i <= n/2; ++i){//看ai，aj是否在第i圈 if(ai == i || ai == n+1-i || aj == i || aj == n+1-i)break;st += 4*l-4;l -= 2;        }//看ai,aj位置是第i圈上第几个格子，求出目标位置的值 int fi = i, fj = i, num = st;//fi,fj:焦点 num:该位置的值  for(int d = 0; d < 4; ++d)//方向 0:右 1:下 2:左 3:上 {int k = 1;do//用do...while是为了当l==1时，也会判断输出解。解决找边长为奇数的二维数组中心位置的问题。 {if(fi == ai && fj == aj)//找到目标位置 {cout << num;return 0;}fi += dir[d][0], fj += dir[d][1];//按照d方向移动到下一个位置 num++;k++;}while(k <= l-1);//每一条边遍历l-1次 }return 0;
}

解法2：坐标计算

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{int n, ai, aj, i, st, l;//求(ai,aj)的数 st:该圈起始数字 cin >> n >> ai >> aj;st = 1, l = n;//st:起始数字， l:该圈边长 for(i = 1; i <= n/2; ++i){//看ai，aj是否在第i层外圈 if(ai == i || ai == n+1-i || aj == i || aj == n+1-i)break;st += 4*l-4;l -= 2;        }if(ai == i)//在第i行cout << st+aj-i;//移动aj-i次else if(aj == n+1-i)//在第n-i+1列cout << st+l-1+ai-i;//移动ai-i次else if(ai == n+1-i)//在第n-i+1行cout << st+2*(l-1)+(n+1-i)-aj;//移动(n+1-i)-aj次else if(aj == i)//在第i列cout << st+3*(l-1)+(n+1-i)-ai;//移动(n+1-i)-ai次return 0;
}

解法3：递归

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int getNum(int l, int i, int j)//左上角(1,1)位置的值为1，边长为l的矩阵中(i,j)的值
{if(i == 1)//如果在上边 return j;else if(j == l)//如果在右边 return l-1+i;else if(i == l)//如果在下边 return 2*(l-1)+l-j+1;else if(j == 1)//如果在左边 return 3*(l-1)+l-i+1;else//如果在内部 i，j位置的值为这一圈元素的个数（4*(l-1)）加上以(2,2)位置为左上角，以l-2长度为边的矩阵中，(i-1,j-1)位置的值。 return 4*(l-1)+getNum(l-2, i-1, j-1);//以(2,2)位置为左上角时， 原(2,2)变为(1,1)，原(i,j)变为(i-1,j-1)
}
int main()
{int n, ai, aj;//求(ai,aj)的数 st:该圈起始数字 cin >> n >> ai >> aj;cout << getNum(n, ai, aj);return 0;
}