漫步数学分析九—

与R1R^1类似，我们可以考虑RnR^n中的级数。

定义9\textbf{定义9} 对于级数Σ∞k=0xk\Sigma_{k=0}^\infty x_k，其中xk∈Rnx_k\in R^n，如果它的部分和sk=Σki=0xis_k=\Sigma_{i=0}^k x_i 序列收敛到xx，那么我们就成该级数收敛到x∈Rnx\in R^n，我们写作Σ∞k=0xk=x\Sigma_{k=0}^\infty x_k=x。

如定理8那样，Σ∞k=0xk=x\Sigma_{k=0}^\infty x_k=x等价于级数的元素收敛到相应xx 的元素。

应用定理10到sks_k上就得到定理11。

定理11\textbf{定理11} RnR^n中的级数Σxk\Sigma x_k收敛，当且仅当对每个ε>0\varepsilon>0，存在一个NN使得k≥Nk\geq N时∥xk+xk+1+⋯+xk+p∥<ε\Vert x_k+x_{k+1}+\cdots+x_{k+p}\Vert对所有整数p=0,1,2,…p=0,1,2,\ldots 都成立。

特别地，取p=0p=0，我们可以看出如果Σxk\Sigma x_k收敛，那么当k→∞k\to\infty 时xk→0x_k\to 0。

级数Σxk\Sigma x_k绝对收敛，当且仅当实级数Σ∥xk∥\Sigma\Vert x_k\Vert收敛。

定理12\textbf{定理12} 如果Σxk\Sigma x_k绝对收敛，那么Σxk\Sigma x_k是收敛的。

这个定理非常有用，因为当判断Σxk\Sigma x_k的收敛性时，我们可以判断Σ∥xk∥\Sigma\Vert x_k\Vert的收敛性(利用用ratio test)。当然，即便Σxk\Sigma x_k是收敛的，这种判别方法可能失效，这时候就需要其他的方法来判别。

接下来我们讨论一些非常重要的判别级数收敛的方法。这里先给出一些事实，随后还会给出。

定理13\textbf{定理13}

如果|r|<1|r|，那么级数Σ∞n=0rn\Sigma_{n=0}^\infty r^n 收敛到1/(1−r)1/(1-r)；如果|r|≥1|r|\geq1，那么该级数发散(不收敛)。
比较测试(comparison test)：如果Σ∞k=1ak\Sigma_{k=1}^\infty a_k收敛，ak≥0a_k\geq0并且0≤bk≤ak0\leq b_k\leq a_k，那么Σ∞k=1bk\Sigma_{k=1}^\infty b_k 收敛；如果Σ∞k=1ck\Sigma_{k=1}^\infty c_k发散，ck≥0c_k\geq 0，并且0≤ck≤dk0\leq c_k\leq d_k，那么Σ∞k=1dk\Sigma_{k=1}^\infty d_k发散。
p级数测试：如果p>1p>1，那么级数Σ∞n=1n−p\Sigma_{n=1}^\infty n^{-p}收敛；如果p≤1p\leq 1，那么该级数发散到∞\infty(也就是说，部分和递增且没有边界)。
比率测试(ratio test)：假设极限limn→∞|(an+1/an)|\lim_{n\to \infty}|(a_{n+1}/a_n)|存在并且小于1，那么级数Σ∞n=1an\Sigma_{n=1}^\infty a_n绝对收敛；如果极限大于1，那么级数发散；如果极限等于1，那么该测试失效。
根号测试(root test)：假设极限limn→∞(|an|)1/n\lim_{n\to\infty}(|a_n|)^{1/n} 存在且小于1，那么Σ∞n=1an\Sigma_{n=1}^\infty a_n绝对收敛；如果极限大于1，级数发散；如果级数等于1，该测试失效。
积分测试(integral test)：如果ff是[1,+∞)[1,+\infty)上的连续，非负，单调递减函数，那么Σ∞n=1f(n)\Sigma_{n=1}^\infty f(n)与∫∞1f(x)dx\int_1^\infty f(x)dx要么都收敛，要么都发散。

例1：\textbf{例1：}令xn=(1/n2,1/n)x_n=(1/n^2,1/n)，Σxn\Sigma x_n收敛吗？

解：\textbf{解：}答案为否。因为利用(iii)\textrm{(iii)}，调和级数Σ1/n\Sigma 1/n发散。

例2：\textbf{例2：}令∥xn∥≤1/2n\Vert x_n\Vert\leq 1/2^n；证明Σxn\Sigma x_n收敛且∥Σ∞0xn∥≤2\Vert\Sigma_0^\infty x_n\Vert\leq 2。

解：\textbf{解：}我们验证定理11的条件，

∥xk+⋯+xk+p∥≤∥xk∥+⋯+∥xk+p∥≤12k+⋯+12k+p≤∑j=k∞12j=12k−1

\begin{align*} \Vert x_k+\cdots+x_{k+p}\Vert\leq\Vert x_k\Vert+\cdots+\Vert x_{k+p}\Vert&\leq\frac{1}{2^k}+\cdots+\frac{1}{2^{k+p}}\\ &\leq\sum_{j=k}^\infty\frac{1}{2^j}=\frac{1}{2^{k-1}} \end{align*}

(几何级数和的公式为Σ∞0arn=a/(1−r)\Sigma_0^\infty ar^n=a/(1-r))，于是给定ε>0\varepsilon>0，选择一个NN使得1/2N−1<ε1/2^{N-1}，因此Σxk\Sigma x_k收敛。而且，部分和满足

∥sn∥≤∑k=0n∥xk∥≤∑k=0n12k≤2

\Vert s_n\Vert\leq\sum_{k=0}^n\Vert x_k\Vert\leq\sum_{k=0}^n\frac{1}{2^k}\leq 2

因此根据上节的例2可知极限ss也满足∥s∥≤2\Vert s\Vert\leq2。我们也可以直接将级数Σ∥xn∥\Sigma\Vert x_n\Vert与几何级数Σ1/2n\Sigma 1/2^n比较说明级数的收敛。

例3：\textbf{例3：}判断级数∑∞n=1n/3n\sum_{n=1}^\infty n/3^n的收敛性。

解：\textbf{解：}我们利用比率测试方法：

|an+1an|=n+1n13→13

|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\frac{n+1}{n}\frac{1}{3}\to\frac{1}{3}

所以级数收敛。

例4：\textbf{例4：}判断级数Σ∞n=1n/(n2+1)\Sigma_{n=1}^\infty n/(n^2+1)是否收敛。

解：\textbf{解：}通过观察可知，对于x≥1,f(x)=x/(x2+1)x\geq 1,f(x)=x/(x^2+1)是正且连续的函数。因为f′(x)=(−x2+1)/(x2+1)2≤0f'(x)=(-x^2+1)/(x^2+1)^2\leq 0，所以ff是单调递减的。

∫∞1xdxx2+1=limb→∞∫b1xdxx2+1=limb→∞[12log(x2+1)]|b1=limb→∞12log((b2+1)/2)

\begin{align*} \int_1^\infty\frac{xdx}{x^2+1} &=\lim_{b\to\infty}\int_1^b\frac{xdx}{x^2+1}\\ &=\lim_{b\to\infty}[\frac{1}{2}\log(x^2+1)]|_1^b\\ &=\lim_{b\to\infty}\frac{1}{2}\log((b^2+1)/2) \end{align*}

但是当b→∞b\to\infty时，12log((b2+1)/2)→∞\frac{1}{2}\log((b^2+1)/2)\to\infty，所以利用积分测试可知该级数发散。也可以用比较法：n/(n2+1)≥n/(n2+n2)=1/2nn/(n^2+1)\geq n/(n^2+n^2)=1/2n，级数(1/2)Σ1/n(1/2)\Sigma 1/n是发散的，所以可得级数是发散的。

漫步数学分析九——级数相关推荐

漫步数学分析二十九——幂级数
本篇文章我们介绍无限级数的相关理论,我们先从幂级数开始. 定义5\textbf{定义5} 幂级数就是形如Σ∞k=0akxk\Sigma_{k=0}^\infty a_kx^k的级数,其中系数aka_k ...
漫步数学分析二十三——级数的积分与微分
对于一致收敛的序列或级数,我们也有关于极限函数积分与微分的陈述,需要回答的问题是是否这些运算可以逐项执行.对于积分过程,答案是肯定的,下面的定理会介绍,而积分的一般定义会在后面给出,但是对于单变量连续 ...
漫步数学分析三十九——隐函数定理
假设x,yx,y被方程F(x,y)=0F(x,y)=0关联起来,我们会说这定义了一个函数y=f(x)y=f(x)(或者说隐式定义了y=f(x)y=f(x)),然后打算计算dy/dxdy/dx.前面已经 ...
漫步数学分析十九——介值定理
介值定理说明对于某区间上的连续函数,给定两个值后,可以取得两个值中间的所有值,如图1,图2中的不连续函数ff不会取值1/21/2.简单来说,该定理告诉我们不连续函数可以从一个值调到另一个值,而连续函数 ...
漫步数学分析番外五(下)
接下来我们不证明定理10,而是更加一般的结论. 定理10′\textbf{定理10}^\prime 令XX是一个完备度量空间,令T:X→XT:X\to X是一个压缩映射:d(T(x),T(y))≤λd ...
漫步数学分析番外五(上)
定理1\textbf{定理1} 令fk:A→Rmf_k:A\to R^m是连续函数并且假设fk→ff_k\to f(一致),那么ff是连续的. 证明:\textbf{证明:}因为fn→ff_n\to ...
漫步数学分析二十一——逐点收敛与一致收敛
对一个函数序列来说,最自然的收敛类型可能是逐点(pointwise)收敛,定义如下. 定义1\textbf{定义1} 函数序列fk:A→Rm,A⊂Rnf_k:A\to R^m,A\subset R^n ...
漫步数学分析番外二(下)
定理11\textbf{定理11} RnR^n中的序列Σxk\Sigma x_k收敛,当且仅当对每个ε>0\varepsilon>0,存在一个数NN,使得k≥Nk\geq N时,不等式∥x ...
漫步数学分析二十八——狄利克雷与阿贝尔测试
在我们判断一致收敛的时候,某些情况下魏尔斯特拉斯M测试会失效,为此挪威数学家尼尔斯阿贝尔(Niels Abel)以及狄利克雷(Dirichlet)分别提出了两种测试方法,这些方法对许多实例都是非常有用 ...

漫步数学分析九——级数

漫步数学分析九——级数相关推荐

最新文章

热门文章