一、极限问题 (每小题8分,共32分)

1.设集合$A\not =\varnothing ,\alpha =\sup A,\alpha \not \in A.$证明:$A$中存在严格单调递增数列$\{x_{n}\}$,满足$\lim\limits_{n\to \infty}x_{n}=\alpha$.

2.设$x_{0}=a,x_{1}=b(0<a<b)$,且$\displaystyle x_{n+1}=\sqrt{x_{n}x_{n-1}},(n\ge1)$.证明:$\{x_{n}\}$收敛,并求$\lim\limits_{n\to \infty}x_{n}$.

3.求$\displaystyle \lim\limits_{x\to 0}\frac{e^{x^{2}}-x\sin x-1}{x^{4}}$.

4.求$\displaystyle \lim\limits_{x\to 0}\frac{\sqrt{\cos x}-\sqrt[3]{\cos x}}{\ln (x^{2}+1)}$.

二、计算积分(每小题8分,共32分)

1.$\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{x^{2001}-x^{1005}}{\ln x}dx$;

2.设$\displaystyle f(x)$在$[0,1]$可积,且满足$\displaystyle x^{2}(\ln x)^{2}-f(x)=\int_{0}^{1}f(x)dx$,求$\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)dx$的值;

3.计算$\displaystyle I=\int_{L}\left(x^{2}+2y+z \right)ds$,其中$L$是圆周$\left(x-2\right)^{2}+y^{2}=r^{2}(r>0)$取逆时针方向;

4.计算$\displaystyle \iint\limits_{S}(x+2y)dydz+(y+z)dzdx+(z+2)dxdy $,其中$S$是椭球面$\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$的上半部分,其方向为下侧;

5.设$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$内有连续导函数,计算积分$\displaystyle \int\limits_{L}\frac{1+y^{2}f(xy)}{y}dx+\frac{x}{y^{2}}[y^{2}f(xy)-1]dy$,其中$L$为上半平面$(y\ge 0)$内以$\left(2,3\right)$为起点到$ \left(3,2\right)$为终点的有向分段光滑曲线.

三、(15分) 设正项级数$\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}$发散,且$\displaystyle s_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n}a_{k}$,讨论$\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{a_{n}}{s_{n}^{\alpha}}$的敛散性,其中$\alpha>0$.

四、(15分) 讨论函数\begin{equation*}\displaystyle f(x,y)=\begin{cases}\displaystyle (x+y)^{2}\sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}&,(x,y)\not =(0,0)\\0&,(x,y=(0,0)\end{cases}\end{equation*}的偏导数$f_{x},f_{y}$在原点的连续性和$f$在原点的可微性.

五、(15分) 设$f(x)$在$(0,2)$上二阶可导,$f''(1)>0$.证明:存在$x_{1},x_{2}\in (0,2)$,使得$\displaystyle f'(1)=\frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}$.

六、(12分) (15分) 设连续$\displaystyle f(x):R\to R$在所有无理点处取有理值,且$f(0)=1$,求$f(x)$.

七、(每小题7分,共21分) 设$\displaystyle f(x)=\int_{1}^{+\infty}\frac{\sin xt}{t(1+t^{2})}dt,x\in (-\infty,+\infty) $.证明:

1.证明积分$\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\frac{\sin xt}{t(1+t^{2})}dt$关于$x$在$(-\infty,+\infty)$一致收敛;

2.证明$\displaystyle \lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=0$;

3.$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上一致连续.