北京大学2017年数学分析考研试题
2017年北京大学硕士研究生数学分析真题
1.(10分) 证明:$$\lim_{n \to +\infty }\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin ^nx}{\sqrt{\pi -2x}}dx=0.$$
2.(10分) 证明:$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{1+nx^2}\sin \frac{x}{n^\alpha }$在任何有限区间上一致收敛的充要条件是:$\alpha > \frac{1}{2}$.
3.(10分) 设$\sum_{n=1}^{\infty }a_n$收敛.证明$$\lim_{s\rightarrow 0+}\sum_{n=1}^{\infty }a_nn^{-s}=\sum_{n=1}^{\infty }a_n.$$
4.(10分) 称$\gamma (t)=(x(t),y(t))$,$(t\in $属于某个区间$I)$是$\mathbb{R}^1$上$C^1$向量场$(P(x,y),Q(x,y))$的积分曲线,若${x}'(t)=P(\gamma (t))$,${y}'(t)=Q(\gamma (t)),\forall t\in I$,设$P_x+Q_y$在$\mathbb{R}^1$上处处非零,证明向量场$(P,Q)$的积分曲线不可能封闭(单点情形除外).
5.(20分) 假设$x_0=1,x_n=x_{n-1}+\cos x_{n-1},(n=1,2,\cdots )$,证明:当$x\rightarrow \infty $时,$x_n-\frac{\pi }{2}=o(\frac{1}{n^n})$.
6.(20分) 假设$f\in [0,1],\lim\limits_{x\rightarrow 0+}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\alpha < \beta =\lim\limits_{x\rightarrow 1-}\frac{f(x)-f(0)}{x-1}$,证明:$$\forall \lambda \in [\alpha ,\beta ],\exists x_1,x_2\in [0,1],s.t. \lambda =\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}.$$
7. (20分)设$f$是$(0,+\infty)$上的凹(或凸)函数且$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}xf'(x)=0$ (仅在$f$可导的点考虑极限过程).
8. (20分)设$\phi\in C^3(\mathbb{R}^3)$, $\phi$及其各个偏导数$\partial_i\phi(i=1,2,3)$在点$X_0\in \mathbb{R}^3$处取值都是$0$. $X_0$点的$\delta$邻域记为$U_\delta(\delta>0)$.如果$\left(\partial_{ij}^2\phi(X_0)\right)_{3\times 3}$是严格正定的,则当$\delta$充分小时,证明如下极限存在并求之:\[\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } t^{\frac32}\iiint_{{U _\delta }} {{e^{ - t\phi\left( {x_1,x_2,x_3} \right)}}\,dx_1dx_2dx_3} .\]
9. (30分) 将$(0,\pi)$上常值函数$f(x)=1$进行周期$2\pi$奇延拓并展为正弦级数:\[f(x)\sim \frac4\pi\sum_{n=1}^\infty \frac1{2n-1}\sin (2n-1)x.\]
该Fourier级数的前$n$项和记为$S_n(x)$,则$\displaystyle \forall x\in (0,\pi),S_n(x)=\frac2\pi\int_0^x\frac{\sin 2nt}{\sin t}dt$,且$\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n(x)=1$.证明$S_n(x)$的最大值点是$\displaystyle \frac\pi{2n}$且$\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n\left(\frac\pi{2n}\right)=\frac 2\pi \int_0^\pi\frac{\sin t}t dt$.
转自: http://www.math.org.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=37135
参考解答见: http://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/3527416.html
转载于:https://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/6221320.html
北京大学2017年数学分析考研试题相关推荐
- 北京大学2019年数学分析考研试题
- 北京大学2016年数学分析考研试题
本文来自TangSong. 1.($15'$) 用开覆盖定理证明闭区间上连续函数必一致连续. 2.$(15')$ $f(x)$ 是 $[a,b]$ 上的实函数.叙述关于Riemann和 \[\sum_ ...
- [家里蹲大学数学杂志]第034期中山大学2008年数学分析考研试题参考解答
1 (每小题6分,共48分) (1) 求$\lim\limits_{x \to 0+}x^x;$ 解答: $$\begin{eqnarray*}\textrm{ 原式} & = & ...
- 上海交通大学2006年数学分析考研试题
转载于:https://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/4078900.html
- 武汉大学2013年数学分析考研试题参考解答
来源 [尊重原有作者劳动成果] 一: 1:解:\[\because \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\ln (1+x)=x\] \[\therefore \und ...
- 四川大学2012年数学分析考研试题
一.极限问题 (每小题8分,共32分) 1.设集合$A\not =\varnothing ,\alpha =\sup A,\alpha \not \in A.$证明:$A$中存在严格单调递增数列$\{ ...
- 浙江大学2009年数学分析考研试题第7题参考解答
题目. 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$上 可导, 导函数 $f'(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调下降, 且 $f'(b)>0$. 证明: \[ \sev{\int\limits_a^b ...
- 四川大学2015年数学分析考研试题
一.计算(每小题8分,共72分) 1.求 $\displaystyle\lim\limits_{x\to 0}\left(\frac{\cos{x}}{\cos{2x}}\right)^{x^{-2} ...
- 上海交通大学2002年数学分析考研试题
最新文章
- C# WPF 中用代码模拟鼠标和键盘的操作
- C# 泛型可能导致的装箱操作陷阱
- c-free为什么要多输入一条_为什么微信语音不能转发?知道真相后才发现我们都错怪了微信!...
- hdu5437(2015长春网络赛A题)
- html重绘text,使用DrawText重绘C++
- Java达到MySQL数据库备份(两)
- 服务器的防火墙禁止了对指定通讯端口的访问,使用iptables限制访问网站指定端口...
- java项目没有bin_WebAPI项目似乎没有将转换后的web.config发布到bin文件夹?
- 华为云技术开放日(第三季)活动报道
- Learning-Python【0】:Windows环境下Python2和Python3的安装
- WP8.1学习系列(第二章)——Toast通知
- Configure Log Shipping
- python清空list_python怎么清空list
- 解决windows10 9926版本中无法访问samba的方法
- 海康VisionMaster的使用
- svn update中断,报cleanup错误
- 真格量化常见报错信息和Debug方法
- MacOS基金管理软件
- 解决word无法回退及修改内容不保存问题
- TPH-YOLOv5: Improved YOLOv5 Based on Transformer Prediction Head for Object Detection on Drone-captu
热门文章
- 微粒化运营:升级内容产业消费体验(附视频版)
- Web3赋能创作者经济:NFT,DAO和永续收入
- 如何设置自定义任务栏图标_轻松自定义Windows 7任务栏图标
- iperf 服务端发送数据_Iperf详细使用说明
- hdu 5148 City (树形dp)
- dubbo之使用nacos作为注册中心
- Java Client Of Apache Atlas
- 氧饱夹语音芯片,内置功放直推喇叭输出,低成本语音IC,WTN6系列
- Java中的过滤器doFilter里的chain.doFilter()函数理解
- 【软考高项】新一代信息技术及应用之云计算