一、计算(每小题8分,共72分)

1.求 $\displaystyle\lim\limits_{x\to 0}\left(\frac{\cos{x}}{\cos{2x}}\right)^{x^{-2}} .$

2.设$\displaystyle x_{0}=1,x_{1}=2,x_{n+1}=\frac{x_{n}+x_{n-1}}{2},n\ge 1$,求$\displaystyle \{ x_{n} \} $ 的极限.

3.求$ \displaystyle \lim\limits_{x\to 0 \atop y\to 0} \dfrac{\cos{x}+\cos{y}-2}{x^{2}+y^{2}}$.

4.设$f$为$\mathbb{R}$上的周期为$T$的连续函数,且$\displaystyle\int_{0}^{T}f(t)dt=a$,求$\displaystyle\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{1}{x}\int_{0}^{x}f(t)dt.$

5.求级数$\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}+1}{2^{n}}$之和.

6.求原点到曲线$\displaystyle \begin{cases}
z=x^{2}+y^{2},\\
x+y+z=1
\end{cases}$的最短距离.

7.求积分$\displaystyle \int_{\arrowvert x \arrowvert + \arrowvert y \arrowvert \le 1}\left(x^{2}-y^{2} \right)^{3}dxdy.$

8.求积分$\displaystyle \oint\limits_{L}\frac{y^{2}dx-x^{2}dy}{x^{3}+y^{3}},L:x^{2}+y^{2}=1,$沿逆时针方向.

9.求积分$\displaystyle \iint\limits_{S}z^{2}dxdy$,其中$S$是椭球面$\displaystyle \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}+\frac{z^{2}}{16}=1$,在$\displaystyle z>0$的部分,取外法线方向.

二、(16分,每小题8分)判断下列命题是否正确.若正确,给出证明;若不正确,举例说明.

1.函数$f(x)$在$\mathbb{R}$上可导,则$f'(x)$在$\mathbb{R}$上连续.

2.若$\displaystyle \lim\limits_{x\to x_{0} \atop y\to y_{0}}f(x,y)$存在,则$\displaystyle \lim\limits_{x \to x_{0}}f(x,y)$和$\displaystyle \lim\limits_{y \to y_{0}}f(x,y)$都存在.

三、(10分)设$f(x)$在$\displaystyle[ 0,+\infty)$上导数有界,且$\displaystyle\int_{0}^{+\infty}f(x)dx$收敛,证明:$\displaystyle\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=0.$

四、(10分) 设$\displaystyle a>0,b>0$,证明:$\displaystyle \frac{a^{n}+b^{n}}{2} \ge \left( \frac{a+b}{2} \right)^{n}.$

五、(12分) $\displaystyle f(x)$在$\displaystyle[ 0,1 ]$可导,且$f(0)=0,f(1)=1$,证明:存在$a,b \in (0,1)$使得$\displaystyle \frac{1}{f'(a)}+\frac{1}{f'(b)}=2.$

六、(15分) 设$ \displaystyle f_{n}(x) $在$[a,b]$上可导,且存在常数$\displaystyle M$使得对任意$\displaystyle n $和$\displaystyle x \in [a,b]$有$\displaystyle \left| f'(x) \right| \le M $,

证明:如果对任意$\displaystyle x \in [a,b]$数列$ \displaystyle \{ f_{n}(x) \}$收敛,则函数列$\displaystyle \{ f_{n}(x) \}$在$\displaystyle [a,b]$上一致收敛.

七、(15分) 设$f(x)$在$(0,1)$连续,且$(0,1)$中两序列$\left\lbrace a_{n}\right\rbrace ,\left\lbrace b_{n} \right\rbrace $使得
$$
\lim\limits_{n\to +\infty }f(a_{n})=a<b=\lim\limits_{n\to +\infty}f(b_{n}).
$$证明:对任意$c\in \left( a,b\right) ,(0,1)$中存在序列$\left\lbrace c_{n}\right\rbrace $使得$\lim\limits_{n\to +\infty}f(c_{n})=c$.