文章目录

第一章组合分析概述
- 集合的计数
- - 加法原理
  - 乘法原理
- 映射
- 集合的排列与组合
- - 集合的排列
  - 集合的组合
  - 其他计数方式--格路

第一章组合分析概述

集合的计数

有限集合N{∣N∣:集合中元素的个数(N的基);B(N):N的所有子集构成的集合;B′(N):N的所有非空子集构成的集合(块,block).有限集合N \begin{cases} |N|&: 集合中元素的个数(N的基);\\ \mathfrak{B}(N)&: N的所有子集构成的集合;\\ \mathfrak{B}'(N)&: N的所有非空子集构成的集合(块,block).\\ \end{cases} 有限集合N⎩⎪⎨⎪⎧∣N∣B(N)B′(N):集合中元素的个数(N的基);:N的所有子集构成的集合;:N的所有非空子集构成的集合(块,block).

NNN 的子集B(N)\mathfrak{B}(N)B(N)通过交/并/补运算构成一个布尔代数, 且其运算满足De Morgan公式.
NNN的一个系S\mathscr{S}S(一称子集系)是指NNN的无重复块(block)构成的集合, 即S∈B′(B′(N))\mathscr{S}\in \mathfrak{B}'(\mathfrak{B}'(N))S∈B′(B′(N));
k−k-k−系是由kkk个块构成的系.

加法原理

设事件AAA有mmm种选取方式,事件BBB有nnn中选取方式, 则选AAA或BBB共有m+nm+nm+n种方式.

集合表示:

设A,BA,BA,B为有限集,且A∩B=∅A\cap B=\varnothingA∩B=∅,则∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣|A\cup B|=|A|+|B|∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣, nnn个有限集A1,...,AnA_1,...,A_nA1,...,An满足Ai∩Aj=∅(i≠j)A_i\cap A_j=\varnothing(i\ne j)Ai∩Aj=∅(i=j),

⇒∣⋃i=1nAi∣=∑i=1n∣Ai∣.\Rightarrow \left|\bigcup_{i=1}^nA_i\right|=\sum_{i=1}^n|A_i|.⇒∣∣∣∣∣i=1⋃nAi∣∣∣∣∣=i=1∑n∣Ai∣.

乘法原理

设事件AAA有mmm种选取方式,事件BBB有nnn中选取方式, 则选AAA之后再选BBB共有m⋅nm\cdot nm⋅n种方式.

集合表示: 设A,BA,BA,B为有限集, ∣A∣=m,∣B∣=n|A|=m,|B|=n∣A∣=m,∣B∣=n, 则∣A×B∣=∣A∣⋅∣B∣=mn|A\times B|=|A|\cdot|B|=mn∣A×B∣=∣A∣⋅∣B∣=mn.

乘积集合, mmm个有限集Ni(1⩽i⩽m)N_i(1\leqslant i\leqslant m)Ni(1⩽i⩽m)的笛卡尔积N1×N2×⋯×NmN_1\times N_2\times\cdots\times N_mN1×N2×⋯×Nm,

其元素为(y1,y2,...,ym),(yi∈Ni)(y_1,y_2,...,y_m),\quad(y_i\in N_i)(y1,y2,...,ym),(yi∈Ni)

当Ni=N(i⩽i⩽m)⇒N1×N2×⋯×Nm≜NmN_i=N(i\leqslant i\leqslant m)\Rightarrow N_1\times N_2\times\cdots\times N_m\triangleq N^mNi=N(i⩽i⩽m)⇒N1×N2×⋯×Nm≜Nm;

定理: 有限个有限集的乘积集合的元素个数为
∣∏i=1mNi∣=∏i=1m∣Ni∣=∣N1∣∣N2∣⋯∣Nm∣.\left|\prod_{i=1}^mN_i\right|=\prod_{i=1}^m|N_i|=|N_1||N_2|\cdots|N_m|. ∣∣∣∣∣i=1∏mNi∣∣∣∣∣=i=1∏m∣Ni∣=∣N1∣∣N2∣⋯∣Nm∣.

例子: 正整数nnn的素分解为n=p1α1p2α2⋯pkαkn=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k}n=p1α1p2α2⋯pkαk(pip_ipi为素数), 则nnn的因子个数d(n)=?d(n)=?d(n)=?

nnn的因子个数为p1δ1p2δ2⋯pkδkp_1^{\delta_1}p_2^{\delta_2}\cdots p_k^{\delta_k}p1δ1p2δ2⋯pkδk, 其中, δi∈Ai={0,1,2,...αi}\delta_i\in A_i=\{0,1,2,...\alpha_i\}δi∈Ai={0,1,2,...αi},
则 nnn的一个因子对应一组 (δ1,δ2,…,δk)∈A1×A2×⋯×Ak(\delta_1,\delta_2, \ldots ,\delta_k)\in A_1\times A_2\times\cdots \times A_k(δ1,δ2,…,δk)∈A1×A2×⋯×Ak,
⇒d(n)=∣A1×A2×⋯×Ak∣=∣A1∣∣A2∣⋯∣Ak∣=(α1+1)(α2+1)⋯(αk+1).\begin{aligned} \Rightarrow d(n)&= |A_1\times A_2\times \cdots \times A_k|\\ & = |A_1| |A_2| \cdots |A_k|\\ &= (\alpha_1+1)(\alpha_2+1)\cdots (\alpha_k+1). \end{aligned} ⇒d(n)=∣A1×A2×⋯×Ak∣=∣A1∣∣A2∣⋯∣Ak∣=(α1+1)(α2+1)⋯(αk+1).
一个具体的例子:
12=22⋅31,⇒d(12)=3×2=6.12=2^2\cdot3^1, \Rightarrow d(12)=3\times 2=6. 12=22⋅31,⇒d(12)=3×2=6.

映射

有限集MMM到NNN的映射
f:M→Nx↦y=f(x)\begin{aligned} f: M&\to N\\ x&\mapsto y=f(x)\\ \end{aligned} f:Mx→N↦y=f(x)

F(M,N),orNMF(M,N), or \ N^MF(M,N),or NM表示集合MMM到NNN的全体映射fff的集合.

定理A: 有限集MMM到NNN的映射个数为:
∣F(M,N)∣=∣NM∣=∣N∣∣M∣|F(M,N)|=|N^M|=|N|^{|M|} ∣F(M,N)∣=∣NM∣=∣N∣∣M∣

Proof:
设∣M∣=m,∣N∣=n|M|=m,|N|=n∣M∣=m,∣N∣=n, M={x1,x2,...,xm}M=\{x_1,x_2,...,x_m\}M={x1,x2,...,xm}.
则∀f∈F(M,N)\forall f\in F(M,N)∀f∈F(M,N), 等价于给出NNN的以一个mmm元组(y1,y2,...,ym),(yi∈N)(y_1,y_2,...,y_m), (y_i\in N)(y1,y2,...,ym),(yi∈N)
即给定一个fff等价于给出NmN^mNm的一个mmm元组, 于是有
∣F(M,N)=∣Nm∣=∣N∣m=nm=∣N∣∣M∣.|F(M,N)=|N^m|=|N|^m=n^m=|N|^{ |M| }. ∣F(M,N)=∣Nm∣=∣N∣m=nm=∣N∣∣M∣.
映射的分类:
f:M→N{单射:∀x1,x2∈M,x1≠x2⇒f(x1)≠f(x2);满射:∀y∈N,∃x∈M,有y=f(x);双射:既是单射又是满射(一一对应).f:M\to N \begin{cases} 单射: \forall x_1,x_2\in M, x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2);\\ 满射: \forall y\in N, \exist x\in M, 有y=f(x);\\ 双射: 既是单射又是满射(一一对应).\\ \end{cases} f:M→N⎩⎪⎨⎪⎧单射:∀x1,x2∈M,x1=x2⇒f(x1)=f(x2);满射:∀y∈N,∃x∈M,有y=f(x);双射:既是单射又是满射(一一对应).
对于双射f:M→Nf:M\to Nf:M→N(一一对应), ⇒∣M∣=∣N∣\Rightarrow |M|=|N|⇒∣M∣=∣N∣.

定理B: 有限集MMM的子集个数为: ∣B(M)∣=2∣M∣|B(M)|=2^{|M|}∣B(M)∣=2∣M∣

Proof:
∀A∈B(M)\forall A\in B(M)∀A∈B(M), 即A⊂MA\subset MA⊂M,
构造fAf_AfA(子集AAA的示性函数)
fA:M→N={0,1}x↦fA(x)={1,x∈A0,x∉Af_A: M\to N=\{0,1\}\\ x\mapsto f_A(x)=\begin{cases} 1,x\in A\\ 0,x\not\in A\\ \end{cases} fA:M→N={0,1}x↦fA(x)={1,x∈A0,x∈A
建立了B(M)B(M)B(M)与F(M,N)F(M,N)F(M,N)的一个一一对应.
于是∣B(M)∣=∣F(M,N)∣=∣N∣∣M∣=2∣M∣|B(M)|=|F(M,N)|=|N|^{|M|}=2^{|M|}∣B(M)∣=∣F(M,N)∣=∣N∣∣M∣=2∣M∣.

法二: 令um=∣B(M)∣u_m=|B(M)|um=∣B(M)∣
给定x∈Mx\in Mx∈M 则< 的不含有$x 的子集与含有的子集与含有的子集与含有x的子集个数一样多,且均为的子集个数一样多, 且均为的子集个数一样多,且均为u_{m-1}$, 于是我们有如下的递推关系
um=2um−1u_m=2u_{m-1} um=2um−1
又由u0=1u_0=1u0=1,得到um=2m=2∣M∣u_m=2^m=2^{|M|}um=2m=2∣M∣.

例子: nnn元集合NNN的偶数元子集EEE,奇数元子集FFF, 则∣E∣=?,∣F∣=?|E|=?,|F|=?∣E∣=?,∣F∣=?.

解: 构造映射,
f:E→F∀A∈E,A↦f(A)={A\{x},x∈AA∪{x},x∉A(x∈N)\begin{aligned} f:E&\to F\\ \forall A\in E, A&\mapsto f(A)= \begin{cases} A\backslash\{x\},&x\in A\\ A\cup \{x\}, &x\not\in A \end{cases} (x\in N) \end{aligned} f:E∀A∈E,A→F↦f(A)={A\{x},A∪{x},x∈Ax∈A(x∈N)
fff为EEE到FFF的双射.

⇒∣E∣=∣F∣=12∣B(N)∣=2n−1\Rightarrow |E|=|F|=\frac12|B(N)|=2^{n-1}⇒∣E∣=∣F∣=21∣B(N)∣=2n−1.

集合的排列与组合

集合的排列

令NNN表示nnn元集合(∣N∣=n|N|=n∣N∣=n), [k]={1,2,...,k}[k]=\{1,2,...,k\}[k]={1,2,...,k}

定义1: 集合NNN的一个kkk排列α(1⩽k⩽n)\alpha(1\leqslant k\leqslant n)α(1⩽k⩽n)就是一个从[k][k][k]到NNN的单射α\alphaα.
α([k])=(α(1),α(2),...α(k)),(α(i)∈N,α(i)≠α(j)).\alpha([k])=(\alpha(1),\alpha(2),...\alpha(k)),\quad (\alpha(i)\in N,\alpha(i)\ne \alpha(j)). α([k])=(α(1),α(2),...α(k)),(α(i)∈N,α(i)=α(j)).
即NNN的一个有序的kkk元子集.

Ak(N)A_k(N)Ak(N)表示NNN的所有的k−k-k−排列的集合.

定理1: 集合NNN的k−k-k−排列的个数(1⩽k⩽n=∣N∣(1\leqslant k\leqslant n=|N|(1⩽k⩽n=∣N∣)为
∣Ak(N)∣=n(n−1)⋯(n−k+1)≜(n)k(n的降k阶乘)|A_k(N)|=n(n-1)\cdots(n-k+1)\triangleq (n)_k \quad(n的降k阶乘) ∣Ak(N)∣=n(n−1)⋯(n−k+1)≜(n)k(n的降k阶乘)
球盒模型:

kkk个不同的球放入nnn个不同的盒子, 每个盒子至多一个球的不同放法:nnn的降kkk阶乘.

一些记号:

(n)k=n(n−1)⋯(n−k+1)(n)_k=n(n-1)\cdots(n-k+1)(n)k=n(n−1)⋯(n−k+1), (n)0=1(n)_0=1(n)0=1. nnn的降kkk阶乘
⟨n⟩k=n(n+1)⋯(n+k−1)\lang n\rang_k=n(n+1)\cdots(n+k-1)⟨n⟩k=n(n+1)⋯(n+k−1), ⟨n⟩0=1\lang n\rang_0=1⟨n⟩0=1. nnn的升kkk阶乘

(超几何级数中, (n)k(n)_k(n)k表示nnn的升kkk阶乘)

更一般地, 对于复数z,非负整数k,

(z)k=z(z−1)⋯(z−k+1)(z)_k=z(z-1)\cdots(z-k+1)(z)k=z(z−1)⋯(z−k+1), (z)0=1(z)_0=1(z)0=1. zzz的降kkk阶乘
⟨z⟩k=z(z+1)⋯(z+k−1)\lang z\rang_k=z(z+1)\cdots(z+k-1)⟨z⟩k=z(z+1)⋯(z+k−1), ⟨z⟩0=1\lang z\rang_0=1⟨z⟩0=1. zzz的升kkk阶乘

引入Γ−\Gamma-Γ−函数Γ(x+1)=xΓ(x)\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)Γ(x+1)=xΓ(x)
(z)k=Γ(z+1)Γ(z−k+1),⟨z⟩k=Γ(z+k)Γ(z)(z)_k=\frac{\Gamma(z+1)}{\Gamma(z-k+1)}, \lang z\rang_k=\frac{\Gamma(z+k)}{\Gamma(z)} (z)k=Γ(z−k+1)Γ(z+1),⟨z⟩k=Γ(z)Γ(z+k)
kkk可以不是非负整数

Γ\GammaΓ函数的两种定义
Γ(x)=∫0+∞tx−1e−tdtΓ(x)=lim⁡n→∞n!nx−1⟨x⟩n\begin{aligned} \Gamma(x)&=\int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}\text{d}t\\ \Gamma(x)&=\lim_{n\to\infty}\frac{n!n^{x-1}}{\lang x\rang_n}\\ \end{aligned} Γ(x)Γ(x)=∫0+∞tx−1e−tdt=n→∞lim⟨x⟩nn!nx−1

NNN的置换, σ:N→N\sigma: N\to Nσ:N→N(一一对应) (全排列)

定理2: nnn元集合NNN的所有置换的个数为n!n!n!.

集合的组合

定义2: 集合NNN的一个k−k-k−组合(or k−blockk-blockk−block)BBB就是NNN的一个kkk元非空子集(即: B⊂NB\subset NB⊂N, 且1⩽k=∣B∣⩽n=∣N∣1\leqslant k=|B|\leqslant n=|N|1⩽k=∣B∣⩽n=∣N∣)

若k⩾0k\geqslant0k⩾0, 称NNN的k−k-k−子集用Bk(N)B_k(N)Bk(N)表示.

几种等价形式:

令φ:N→{0,1})\varphi:N\to\{0,1\})φ:N→{0,1}), 且∑x∈Nφ(x)=k\sum_{x\in N}\varphi(x)=k∑x∈Nφ(x)=k, 这样映射的全体与Bk(x)B_k(x)Bk(x)一一对应;
B∈Bk(N)⟺φ=φB={1,x∈B0,x∉B(x∈N)B\in B_k(N)\iff \varphi=\varphi_B=\begin{cases} 1,x\in B\\ 0,x\not\in B\\ \end{cases}(x\in N)B∈Bk(N)⟺φ=φB={1,x∈B0,x∈B(x∈N)
不定方程x1+x2+⋯+xn=kx_1+x_2+\cdots+x_n=kx1+x2+⋯+xn=k, 其中xi=0or1x_i=0or1xi=0or1.
方程的解集合与Bk(N)B_k(N)Bk(N)一一对应; (N={y1,y2,...,yn}N=\{y_1,y_2,...,y_n\}N={y1,y2,...,yn})
球盒模型:
将kkk个相同的球放入nnn个不同的盒子, 且每个盒子至多一个球的不同放法.

定理3: NNN的k−k-k−子集的个数(0⩽k⩽n=∣N∣0\leqslant k\leqslant n=|N|0⩽k⩽n=∣N∣)为:
∣Bk(N)∣=n!(n−k)!k!=(n)kk!≜(nk)(称为二项式系数)|B_k(N)|=\frac{n!}{(n-k)!k!}=\frac{(n)_k}{k!}\triangleq{n\choose k}(称为\textbf{二项式系数}) ∣Bk(N)∣=(n−k)!k!n!=k!(n)k≜(kn)(称为二项式系数)

证明:
用映射证明: k!∣Bk(N)∣=∣Ak(N)∣=(n)kk!|B_k(N)|=|A_k(N)|=(n)_kk!∣Bk(N)∣=∣Ak(N)∣=(n)k.
令
f:Ak(N)→Bk(N)α=(α(1),α(2),...,α(k))↦f(α)={α(1),α(2),..,α(k)}(由有序变为无序)\begin{aligned} f:A_k(N)&\to B_k(N)\\ \alpha=(\alpha(1),\alpha(2),...,\alpha(k))&\mapsto f(\alpha)=\{\alpha(1),\alpha(2),..,\alpha(k)\}(由有序变为无序) \end{aligned}f:Ak(N)α=(α(1),α(2),...,α(k))→Bk(N)↦f(α)={α(1),α(2),..,α(k)}(由有序变为无序)
则∀B∈Bk(N)⇒∣f−1(B)∣=k!\forall B\in B_k(N)\Rightarrow |f^{-1}(B)|=k!∀B∈Bk(N)⇒∣f−1(B)∣=k!,
当BBB选定Bk(N)B_k(N)Bk(N), f−1(B)f^{-1}(B)f−1(B)互不相交且完全覆盖Ak(N)A_k(N)Ak(N), 故
(n)k=∣Ak(N)∣=∑B∈Bk(N)∣f−1(B)∣=k!∣Bk(N)∣,⇒∣Bk(N)∣=(n)kk!=(nk).\begin{aligned} (n)_k&=|A_k(N)|=\sum_{B\in B_k(N)}|f^{-1}(B)|=k!\,|B_k(N)|,\\ &\Rightarrow |B_k(N)|=\frac{(n)_k}{k!}=\binom nk. \end{aligned} (n)k=∣Ak(N)∣=B∈Bk(N)∑∣f−1(B)∣=k!∣Bk(N)∣,⇒∣Bk(N)∣=k!(n)k=(kn).
(牧羊人原理)

二项式系数满足的关系式:

(nk)=(n−1k−1)+(n−1k)\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}(kn)=(k−1n−1)+(kn−1);(可以推出杨辉三角,Pascal三角)
(nk)=nk(n−1k−1)\binom{n}{k}=\frac{n}{k}\binom{n-1}{k-1}(kn)=kn(k−1n−1);
(n+1k+1)=(kk)+(k+1k)+⋯+(nk)\binom{n+1}{k+1}=\binom{k}{k}+\binom{k+1}{k}+\cdots+\binom{n}{k}(k+1n+1)=(kk)+(kk+1)+⋯+(kn);
(n+k+1k)=(n+kk)+(n+k−1k−1)+⋯+(n+11)+(n0)\binom{n+k+1}{k}=\binom{n+k}{k}+\binom{n+k-1}{k-1}+\cdots+\binom{n+1}{1}+\binom{n}{0}(kn+k+1)=(kn+k)+(k−1n+k−1)+⋯+(1n+1)+(0n);

其中1,2,4式的nnn可以推广到zzz(复数), 对于3则不能直接推广(由于3式右边的nnn是由kkk递增得到的, 需要满足zzz的降kkk阶乘)需要变成如下的递减形式(通过1式一步步递归得到下式):
(z+1k+1)=(zk)+(z−1k)+⋯+(z−sk)+(z−sk+1)\binom{z+1}{k+1}=\binom{z}{k}+\binom{z-1}{k}+\cdots+\binom{z-s}{k}+\binom{z-s}{k+1} (k+1z+1)=(kz)+(kz−1)+⋯+(kz−s)+(k+1z−s)
其中sss为正整数, 最后一项保证了当z−s=k+1z-s=k+1z−s=k+1时, 能够和上面原来的3式中(kk)\binom kk(kk)保持一致.

代数证明:

直接展开之后再合并即可(代入验证等式成立), 这里不赘述.

组合证明:

(利用映射,双射以及相应的组合定义来证明)

可以直接从组合意义出发, 或者通过集合的计数方法.

其他计数方式–格路

(nk)=(n−1k−1)+(n−1k)\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}(kn)=(k−1n−1)+(kn−1);(可以推出杨辉三角,Pascal三角)
(nk)=nk(n−1k−1)\binom{n}{k}=\frac{n}{k}\binom{n-1}{k-1}(kn)=kn(k−1n−1);
(n+1k+1)=(kk)+(k+1k)+⋯+(nk)\binom{n+1}{k+1}=\binom{k}{k}+\binom{k+1}{k}+\cdots+\binom{n}{k}(k+1n+1)=(kk)+(kk+1)+⋯+(kn);
(n+k+1k)=(n+kk)+(n+k−1k−1)+⋯+(n+11)+(n0)\binom{n+k+1}{k}=\binom{n+k}{k}+\binom{n+k-1}{k-1}+\cdots+\binom{n+1}{1}+\binom{n}{0}(kn+k+1)=(kn+k)+(k−1n+k−1)+⋯+(1n+1)+(0n);

从(0,0)(0,0)(0,0)到(m,n)(m,n)(m,n)点的格路数(→,↑\to,\uparrow→,↑)

总步数为
m+n{向上走n步向右走m步⇒(m+nm)=(m+nn)m+n \begin{cases} 向上走n步\\ 向右走m步\\ \end{cases} \Rightarrow \binom{m+n}{m}=\binom{m+n}{n} m+n{向上走n步向右走m步⇒(mm+n)=(nm+n)

① 上面的第一个式子. (nk)\binom{n}{k}(kn)是指从O(0,0)O(0,0)O(0,0)到P(n−k,k)P(n-k,k)P(n−k,k)的格路数, 分两种情况:

OOO经过AAA 到PPP :(n−1k):\binom{n-1}k:(kn−1)
OOO经过BBB 到PPP :(n−1k−1):\binom{n-1}{k-1}:(k−1n−1)

于是有(nk)=(n−1k−1)+(n−1k)\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}(kn)=(k−1n−1)+(kn−1)成立.

③ (n+1k+1)\binom{n+1}{k+1}(k+1n+1)是指从O(0,0)O(0,0)O(0,0)到P(n−k,k+1)P(n-k,k+1)P(n−k,k+1)的格路数. 分多种情况:

OOO经过A1A_1A1到PPP :(nk):\binom nk:(kn)
OOO经过A2A_2A2到PPP :(n−1k):\binom{n-1}k:(kn−1)
⋮\vdots⋮
OOO经过An−k+1A_{n-k+1}An−k+1到PPP :(kk):\binom kk:(kk)

于是③成立.

④同理,(只不过换成水平方向, 如图.) (n+k+1k)\binom{n+k+1}{k}(kn+k+1)是指从O(0,0)O(0,0)O(0,0)到P(n+1,k)P(n+1,k)P(n+1,k)的格路数.

OOO经过B1B_1B1到PPP :(n+kk):\binom {n+k}k:(kn+k)
OOO经过B2B_2B2到PPP :(n+k−1k−1):\binom{n+k-1}{k-1}:(k−1n+k−1)
⋮\vdots⋮
OOO经过Bk+1B_{k+1}Bk+1到PPP :(n0):\binom n0:(0n)

于是④式成立.

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第一章组合分析概述

集合的计数

加法原理

乘法原理

映射