二叉树的概念

二叉树(Binary Tree)是n(n>=0)个结点的有限集合，该集合或者为空集(空二叉树)，或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成。

二叉树的特点

每个结点最多有两棵子树，所以二叉树中不存在度大于2的结点。二叉树中每一个节点都是一个对象，每一个数据节点都有三个指针，分别是指向父母、左孩子和右孩子的指针。每一个节点都是通过指针相互连接的。相连指针的关系都是父子关系。

二叉树节点的定义

二叉树节点定义如下：

struct BinaryTreeNode

{

int m_nValue;

BinaryTreeNode* m_pLeft;

BinaryTreeNode* m_pRight;

};

二叉树的五种基本形态

空二叉树

只有一个根结点

根结点只有左子树

根结点只有右子树

根结点既有左子树又有右子树

拥有三个结点的普通树只有两种情况：两层或者三层。但由于二叉树要区分左右，所以就会演变成如下的五种形态：

特殊二叉树

斜树

如上面倒数第一副图的第2、3小图所示。

满二叉树

在一棵二叉树中，如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树。如下图所示：

完全二叉树

完全二叉树是指最后一层左边是满的，右边可能满也可能不满，然后其余层都是满的。一个深度为k，节点个数为 2^k - 1 的二叉树为满二叉树(完全二叉树)。就是一棵树，深度为k，并且没有空位。

完全二叉树的特点有：

叶子结点只能出现在最下两层。

最下层的叶子一定集中在左部连续位置。

倒数第二层，若有叶子结点，一定都在右部连续位置。

如果结点度为1，则该结点只有左孩子。

同样结点树的二叉树，完全二叉树的深度最小。

注意：满二叉树一定是完全二叉树，但完全二叉树不一定是满二叉树。

算法如下：

bool is_complete(tree *root)

{

queue q;

tree *ptr;

// 进行广度优先遍历(层次遍历)，并把NULL节点也放入队列

q.push(root);

while ((ptr = q.pop()) != NULL)

{

q.push(ptr->left);

q.push(ptr->right);

}

// 判断是否还有未被访问到的节点

while (!q.is_empty())

{

ptr = q.pop();

// 有未访问到的的非NULL节点，则树存在空洞，为非完全二叉树

if (NULL != ptr)

{

return false;

}

}

return true;

}

二叉树的性质

二叉树的性质一：在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个结点(i>=1)

二叉树的性质二：深度为k的二叉树至多有2^k-1个结点(k>=1)

二叉树的顺序存储结构

二叉树的顺序存储结构就是用一维数组存储二叉树中的各个结点，并且结点的存储位置能体现结点之间的逻辑关系。

二叉链表

既然顺序存储方式的适用性不强，那么我们就要考虑链式存储结构啦。二叉树的存储按照国际惯例来说一般也是采用链式存储结构的。

二叉树每个结点最多有两个孩子，所以为它设计一个数据域和两个指针域是比较自然的想法，我们称这样的链表叫做二叉链表。

二叉树的遍历

二叉树的遍历(traversing binary tree)是指从根结点出发，按照某种次序依次访问二叉树中所有结点，使得每个结点被访问一次且仅被访问一次。

二叉树的遍历有三种方式，如下：

(1)前序遍历(DLR)，首先访问根结点，然后遍历左子树，最后遍历右子树。简记根-左-右。

(2)中序遍历(LDR)，首先遍历左子树，然后访问根结点，最后遍历右子树。简记左-根-右。

(3)后序遍历(LRD)，首先遍历左子树，然后遍历右子树，最后访问根结点。简记左-右-根。

前序遍历：

若二叉树为空，则空操作返回，否则先访问根结点，然后前序遍历左子树，再前序遍历右子树。

遍历的顺序为：A B D H I E J C F K G

//先序遍历

function preOrder(node){

if(!node == null){

putstr(node.show()+ " ");

preOrder(node.left);

preOrder(node.right);

}

}

中序遍历：

若树为空，则空操作返回，否则从根结点开始(注意并不是先访问根结点)，中序遍历根结点的左子树，然后是访问根结点，最后中序遍历右子树。

遍历的顺序为：H D I B E J A F K C G

//使用递归方式实现中序遍历

function inOrder(node){

if(!(node == null)){

inOrder(node.left);//先访问左子树

putstr(node.show()+ " ");//再访问根节点

inOrder(node.right);//最后访问右子树

}

}

后序遍历：

若树为空，则空操作返回，否则从左到右先叶子后结点的方式遍历访问左右子树，最后访问根结点。

遍历的顺序为：H I D J E B K F G C A

//后序遍历

function postOrder(node){

if(!node == null){

postOrder(node.left);

postOrder(node.right);

putStr(node.show()+ " ");

}

}

实现二叉查找树

二叉查找树(BST)由节点组成，所以我们定义一个Node节点对象如下：

function Node(data,left,right){

this.data = data;

this.left = left;//保存left节点链接

this.right = right;

this.show = show;

}

function show(){

return this.data;//显示保存在节点中的数据

}

查找最大和最小值

查找BST上的最小值和最大值非常简单，因为较小的值总是在左子节点上，在BST上查找最小值，只需遍历左子树，直到找到最后一个节点

查找最小值

function getMin(){

var current = this.root;

while(!(current.left == null)){

current = current.left;

}

return current.data;

}

该方法沿着BST的左子树挨个遍历，直到遍历到BST最左的节点，该节点被定义为：

current.left = null;

这时，当前节点上保存的值就是最小值

查找最大值

在BST上查找最大值只需要遍历右子树，直到找到最后一个节点，该节点上保存的值就是最大值。

function getMax(){

var current = this.root;

while(!(current.right == null)){

current = current.right;

}

return current.data;

}