时间：2020年4月9日
对之前内容做补充，加入支撑相轨迹规划，并构造完整的的周期曲线

在四足机器人的研究中，有一个很关键的问题，就是如何减少足端在触地瞬间的冲击，避免把机器人把自己给蹬倒了？这时候就需要一个合理的足端轨迹规划。本篇将会介绍几种足端轨迹。

本文将对四足机器人的足端轨迹进行规划。将数学中的复合摆线和多项式曲线引入到足端轨迹的规划中，根据零冲击原则[2]，规划出 3 条满足要求的足端轨迹，包括：

复合摆线轨迹
八次多项式轨迹
分段五次多项式轨迹

本篇先介绍第一个 —— 复合摆线轨迹

一、摆线

摆线，又称旋轮线、圆滚线，在数学中，摆线（Cycloid）被定义为，一个圆沿一条直线运动时，圆边界上一定点所形成的轨迹。它是一般旋轮线的一种。

看以下动图就知道摆线是如何来的：

红色线即为摆线轨迹，总结成数学公式为：

x=r(t−sin⁡t)x = r(t-\sin t)x=r(t−sint)

y=r(1−cos⁡t)y = r(1-\cos t)y=r(1−cost)

二、足端轨迹约束方程

为达到理想的步态，足端轨迹规划需要满足：

① 行进平稳、协调，无明显的上下波动、左右摇晃和前后冲击；
② 各关节没有较大冲击，特别是摆动相抬腿和落地瞬间实现零冲击抬腿和落地软
着陆；
③ 摆动腿跨步迅速，足端轨迹圆滑，关节速度和加速度平滑连续无畸点；
④ 避免足端与地面接触时产生滑动，无摆动腿拖地现象。

规定在0∼T20 \sim \frac{T}{2}0∼2T ，足端处于摆动相，在T2∼T\frac{T}{2} \sim T2T∼T ，足端处于支撑相。设水平方向为 X 方向，竖直方向为 Y 方向，根据四足机器人足端运动位置的要求，可确定足端轨迹在水平方向(X 方向)和竖直方向(Y 方向)的位移方程有以下约束。

1、水平x方向

位置约束
{x∣t=0=0x∣t=T/2=Sx∣t=T=0\left\{\begin{matrix} x|_{t=0} = 0\\ x|_{t=T/2} =& S\\ x|_{t = T} = 0 \end{matrix}\right.⎩⎨⎧x∣t=0=0x∣t=T/2=x∣t=T=0S

速度约束
{x˙∣t=0=0x˙∣t=T/2=0x˙∣t=T=0\left\{\begin{matrix} \dot{x}|_{t=0} = 0\\ \dot{x}|_{t=T/2} =& 0\\ \dot{x}|_{t = T} = 0 \end{matrix}\right.⎩⎨⎧x˙∣t=0=0x˙∣t=T/2=x˙∣t=T=00

加速度约束
{x¨∣t=0=0x¨∣t=T/2=0x¨∣t=T=0\left\{\begin{matrix} \ddot{x}|_{t=0} = 0\\ \ddot{x}|_{t=T/2} =& 0\\ \ddot{x}|_{t = T} = 0 \end{matrix}\right.⎩⎨⎧x¨∣t=0=0x¨∣t=T/2=x¨∣t=T=00

2、竖直y方向

位置约束
{y∣t=0=0y∣t=T/4=Hy=0,T/2≤t≤T\left\{\begin{matrix} &y|_{t=0}& = 0\\ &y|_{t=T/4}& = H \\ &y = 0,&T/2\leq t\leq T \end{matrix}\right.⎩⎨⎧y∣t=0y∣t=T/4y=0,=0=HT/2≤t≤T

速度约束
{y˙∣t=0=0y˙∣t=T/4=0y˙=0,T/2≤t≤T\left\{\begin{matrix} &\dot{y}|_{t=0}& = 0\\ &\dot{y}|_{t=T/4}& = 0 \\ &\dot{y} = 0,&T/2\leq t\leq T \end{matrix}\right.⎩⎨⎧y˙∣t=0y˙∣t=T/4y˙=0,=0=0T/2≤t≤T

加速度约束
{y¨∣t=0=0y¨∣t=T/4=0y¨=0,T/2≤t≤T\left\{\begin{matrix} &\ddot{y}|_{t=0}& = 0\\ &\ddot{y}|_{t=T/4}& = 0 \\ &\ddot{y} = 0,&T/2\leq t\leq T \end{matrix}\right.⎩⎨⎧y¨∣t=0y¨∣t=T/4y¨=0,=0=0T/2≤t≤T

三、复合摆线轨迹

1、摆动相轨迹设计

基于第二节中提到的原则，文献[1]中提出了一种基于复合摆线形式的轨迹规划方法，并在文献[2]中得到了验证和使用。针对机器人足底与地面接触时会产生滑动和行走过程中拖地问题，文献[2]对复合摆线规划方法提出了修改，修改后的摆动腿的步态规划轨迹定义为：

{x=S[tTm−12πsin⁡(2πtTm)]y=H[12−12cos⁡(2πtTm)]\left\{\begin{matrix} x = S\left [\frac{t} {T_m}-\frac{1}{2\pi}\sin(\frac{2\pi t}{T_m}) \right ]\\ \\ y = H\left [ \frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(\frac{2\pi t}{T_m})\right ] \end{matrix}\right.⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x=S[Tmt−2π1sin(Tm2πt)]y=H[21−21cos(Tm2πt)]

其中S为步幅， H为抬腿高度，TmT_mTm为摆动相周期。现在我们来看提下它的图像，设定S = 100， H = 30，周期T=2。

我们用python绘制该轨迹的图像如下：

为了更好地研究该轨迹的特性，我们接下来依次看x，y关于时间的位置，速度，加速度

2、轨迹改进

从表达式上分析，该轨迹的加速度方程是余弦函数的倍数，在 t=0 和 t=Tm时刻会出现加速度跳变，根据F=MaF=MaF=Ma，这就导致了抬腿的瞬间要求产生较大的接触力。

从加速度图像亦能说明这一点。针对这一问题，文献[5]对 y 方向的位移方程提出了以下修改。

由于摆动腿在 y 轴运动需要先抬腿再落腿，借鉴 x 轴正弦方式运动的方法求解 y 轴位移曲线

先从加速度函数入手，我们设计成如下形式：
y¨=Asin⁡(nπtTm)\ddot{y} = A\sin(\frac{n\pi t}{T_m})y¨=Asin(Tmnπt)

对上式进行积分求得速度函数：

y˙=ATmnπ[−cos⁡(nπtTm)]+C1\dot{y} = \frac{AT_m}{n\pi}\left [ -\cos(\frac{n\pi t}{T_m})\right ] +C_1y˙=nπATm[−cos(Tmnπt)]+C1

然后根据速度约束y˙∣t=0=0\dot{y}|_{t=0} = 0y˙∣t=0=0以及y˙∣t=Tm=0\dot{y}|_{t=T_m} = 0y˙∣t=Tm=0，求出C1C_1C1

C1=ATmnπn=2kk=1,2,...C_1 = \frac{AT_m}{n\pi} \quad n=2k \quad k=1,2,...C1=nπATmn=2kk=1,2,...

对速度函数进行积分，求得位移函数为：

y=ATmnπ[t−Tmnπsin⁡(nπtTm)]+C2y = \frac{AT_m}{n\pi}\left [t -\frac{T_m}{n\pi}\sin(\frac{n\pi t}{T_m})\right ] +C_2y=nπATm[t−nπTmsin(Tmnπt)]+C2

而根据轨迹约束y∣t=0=0,y∣t=Tm/2=H,y∣t=Tm=0y|_{t=0} = 0, y|_{t=T_m/2} = H, y|_{t=T_m} = 0y∣t=0=0,y∣t=Tm/2=H,y∣t=Tm=0我们无法求解出参数AAA和C2C_2C2，因此通过分段函数的方法求y轴方向的曲线方程：

y={2H[tTm−1nπsin⁡(nπtTm)]0≤t<Tm22H[1−tTm+1nπsin⁡(nπtTm)]Tm2≤t<Tmy = \left\{\begin{matrix} 2H\left [ \frac{t}{T_m}-\frac{1}{n\pi}\sin(\frac{n\pi t}{T_m})\right ] & 0\leq t< \frac{T_m}{2}\\ \\ 2H\left [1 - \frac{t}{T_m}+\frac{1}{n\pi}\sin(\frac{n\pi t}{T_m}) \right ] & \frac{T_m}{2}\leq t< T_m \end{matrix}\right.y=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧2H[Tmt−nπ1sin(Tmnπt)]2H[1−Tmt+nπ1sin(Tmnπt)]0≤t<2Tm2Tm≤t<Tm

为了确定n的取值，我们来看看n取不同值时的速度图像
取T=2，H=1，S=1T = 2，H = 1， S = 1T=2，H=1，S=1

可以看出，当n越大时，y方向上的速度变化就越频繁，这可能会导致系统能耗的增加。

再来看位移图像：

从位移图像来看，只有当n取4时，轨迹才是平滑的。因此我们可以确定轨迹的最终形式为：

{x=S[tTm−12πsin⁡(2πtTm)]y=H[sgn(Tm2−t)(2fE(t)−1)+1]\left\{\begin{matrix} x =& S\left [\frac{t}{T_m}-\frac{1}{2\pi}\sin(\frac{2\pi t}{T_m}) \right ]\\ \\ y =& H\left [ sgn(\frac{T_m}{2}-t)(2f_E(t)-1) + 1 \right ] \end{matrix}\right.⎩⎪⎨⎪⎧x=y=S[Tmt−2π1sin(Tm2πt)]H[sgn(2Tm−t)(2fE(t)−1)+1]

其中
fE(t)=tTm−14πsin⁡(4πtTm)f_E(t) = \frac{t}{T_m}-\frac{1}{4\pi}\sin(\frac{4\pi t}{T_m})fE(t)=Tmt−4π1sin(Tm4πt)

sgn(Tm2−t)={10⩽t<Tm2−1Tm2⩽t<Tmsgn(\frac{T_m}{2}-t) = \left\{\begin{matrix} 1 \quad 0\leqslant t < \frac{T_m}{2}\\ \\ -1 \quad \frac{T_m}{2}\leqslant t < T_m \end{matrix}\right.sgn(2Tm−t)=⎩⎨⎧10⩽t<2Tm−12Tm⩽t<Tm

我们取H=30,S=100,T=2H=30, S=100, T=2H=30,S=100,T=2来验证上式：

这里我们发现速度图像与确定n值时给出的不一致，那是因为我们在y的轨迹方程中使用了分段函数，对t>Tm2t>\frac{T_m}{2}t>2Tm部分进行了取反，因此该部分的速度和加速度图像是沿横轴进行了翻转的。

2020年4月9日新增内容

3、支撑相足端轨迹

相比于摆动相的足端轨迹，支撑相的设计就显得稍微简单。首先我们要知道两点：

支撑相水平方向上的位移曲线与摆动相的关于t=Tmt=T_mt=Tm对称。
竖直方向的位移适终为0

基于这两点，我们可以设计出如下曲线：

{x=S(2Tm−tTm+12πsin⁡(2πtTm)),Tm≤y≤2Tmy=0,Tm≤t≤2Tm\left\{\begin{matrix} x &=& S(\frac{2T_m -t}{T_m} + \frac{1}{2\pi}\sin(\frac{2\pi t}{T_m})), T_m \leq y \leq 2T_m\\ \\ y &=& 0, T_m \leq t \leq 2T_m \end{matrix}\right.⎩⎨⎧xy==S(Tm2Tm−t+2π1sin(Tm2πt)),Tm≤y≤2Tm0,Tm≤t≤2Tm

4、周期轨迹

定义步态周期为TTT，支撑相，摆动相周期均为TmT_mTm
，则T=2TmT = 2T_mT=2Tm

关于周期：摆动相TfT_fTf，支撑相TsT_sTs的持续时间不一定要设为一致，可根据控制器模型实时动态调节。这种情况下T=Tf+TsT = T_f + T_sT=Tf+Ts

我们对时间进行周期化处理：

ti=(t+φi)modTit_i = (t+ \varphi_i)modT_iti=(t+φi)modTi

其中，ttt为系统时间，tit_iti为第iii条腿的轨迹规划时间，以LF腿的相位为初始值，则φi\varphi_iφi为各腿相位落后于LF腿的时间与步态周期的比值。

总结

通过对轨迹方程的改进及其图像的分析，我们最终得到了一个平滑，且冲击较小的复合摆线轨迹

如果觉得ok，点个赞，点个关注，也欢迎给个打赏支持一下编者的工作

参考文献

[1] SAKAKIBARA Y，KAN K，HOSODA Y，et al. Foot trajectory for a quadruped walking machine[C] // Proceedings IROS '90. IEEE International Workshop on，July 3-6，1990，Ibaraki，Japan. New York，NY，USA：IEEE，1990：315-322.

[2] 何冬青，马培荪. 四足机器人动态步行仿真及步行稳定性分析[J]. 计算机仿真，2005(2)：146-149. HE Dongqing ， MA Peisun. Simulation of dynamic walking of quadruped robot and analysis of walking stability[J]. Computer Simulation，2005(2)：146-149.

[3] 李贻斌，李彬，荣学文，等. 液压驱动四足仿生机器人的结构设计和步态规划[J]. 山东大学学报，2011(5)：32-36，45. LI Yibin，LI Bin，RONG Xuewen，et al. Mechanical design and gait planning of a hydraulically actuated quadruped bionic robot[J]. Journal of Shandong University，2011(5)：32-36，45.

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