Fuzzy C-Means（模糊C均值聚类）算法原理详解与python实现

模糊理论

Fuzzy C-Means算法原理

算法步骤

python实现

参考资料

本文采用数据集为iris,将iris.txt放在程序的同一文件夹下。请先自行下载好。

模糊理论

模糊控制是自动化控制领域的一项经典方法。其原理则是模糊数学、模糊逻辑。1965，L. A. Zadeh发表模糊集合“Fuzzy Sets”的论文，首次引入隶属度函数的概念，打破了经典数学“非0即 1”的局限性，用[0,1]之间的实数来描述中间状态。

很多经典的集合（即：论域U内的某个元素是否属于集合A，可以用一个数值来表示。在经典集合中，要么0，要么1）不能描述很多事物的属性，需要用模糊性词语来判断。比如天气冷热程度、人的胖瘦程度等等。模糊数学和模糊逻辑把只取1或0二值（属于/不属于）的普通集合概念推广0~1区间内的多个取值，即隶属度。用“隶属度”来描述元素和集合之间的关系。

如图所示，对于冷热程度，我们采取三个模糊子集：冷、暖、热。对于某一个温度，可能同时属于两个子集。要进一步具体判断，我们就需要提供一个描述“程度”的函数，即隶属度。

例如，身高可以分为“高”、“中等”、“矮”三个子集。取论域U（即人的身高范围）为[1.0,3.0]，单位m。在U上定义三个隶属度函数来确定身高与三个模糊子集的关系：

模糊规则的设定：

(1)专家的经验和知识

– 藉由询问经验丰富的专家，在获得系统的知识后，将知识改为IF....THEN ....的型式。

(2)操作员的操作模式

– 记录熟练的操作员的操作模式，并将其整理为IF....THEN ....的型式。

(3)自学习

– 设定的模糊规则可能存在偏差，模糊控制器能依设定的目标，增加或修改模糊控制规则

Fuzzy C-Means算法原理

模糊c均值聚类融合了模糊理论的精髓。相较于k-means的硬聚类，模糊c提供了更加灵活的聚类结果。因为大部分情况下，数据集中的对象不能划分成为明显分离的簇，指派一个对象到一个特定的簇有些生硬，也可能会出错。故，对每个对象和每个簇赋予一个权值，指明对象属于该簇的程度。当然，基于概率的方法也可以给出这样的权值，但是有时候我们很难确定一个合适的统计模型，因此使用具有自然地、非概率特性的模糊c均值就是一个比较好的选择。

简单地说，就是要最小化目标函数Jm:（在一些资料中也定义为SSE即误差的平方和）

其中m是聚类的簇数；i，j是类标号； $u_i_j$ 表示样本 $x_i$ 属于j类的隶属度。i表示第i个样本，x是具有d维特征的一个样本。 $c_j$ 是j簇的中心，也具有d维度。||*||可以是任意表示距离的度量。关于有哪些基于距离的度量，可参考我的另一篇博文《数据的相似性和相异性的度量》。

模糊c是一个不断迭代计算隶属度 $u_i_j$ 和簇中心 $c_j$ 的过程，直到他们达到最优。

，

注：对于单个样本 $x_i$ ，它对于每个簇的隶属度之和为1。

迭代的终止条件为：

其中k是迭代步数， $\varepsilon$ 是误差阈值。上式含义是，继续迭代下去，隶属程度也不会发生较大的变化。即认为隶属度不变了，已经达到比较优（局部最优或全局最优）状态了。该过程收敛于目标Jm的局部最小值或鞍点。

抛开复杂的算式，这个算法的意思就是：给每个样本赋予属于每个簇的隶属度函数。通过隶属度值大小来将样本归类。

算法步骤

1、初始化

通常采用随机初始化。即权值随机地选取。簇数需要人为选定。

2、计算质心

FCM中的质心有别于传统质心的地方在于，它是以隶属度为权重做一个加权平均。

3、更新模糊伪划分

即更新权重（隶属度）。简单地说，如果x越靠近质心c，则隶属度越高，反之越低。

python实现

这段代码是以iris数据集为例的，雏形源于网络，在错误的地方做了一些修正。是专门针对iris写的：

如果要使用你自己的数据集，请看第二段代码。

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Wed Mar 27 10:51:45 2019
@author: youxinlin
"""
import copy
import math
import random
import timeglobal MAX # 用于初始化隶属度矩阵U
MAX = 10000.0global Epsilon  # 结束条件
Epsilon = 0.0000001def import_data_format_iris(file):"""file这里是输入文件的路径，如iris.txt.格式化数据，前四列为data，最后一列为类标号（有0，1，2三类）如果是你自己的data，就不需要执行此段函数了。"""data = []cluster_location =[]  with open(str(file), 'r') as f:for line in f:current = line.strip().split(",")  #对每一行以逗号为分割，返回一个listcurrent_dummy = []for j in range(0, len(current)-1):current_dummy.append(float(current[j]))  #current_dummy存放data#下面注这段话提供了一个范例：若类标号不是0，1，2之类数字时该怎么给数据集j += 1 if  current[j] == "Iris-setosa\n":cluster_location.append(0)elif current[j] == "Iris-versicolor\n":cluster_location.append(1)else:cluster_location.append(2)data.append(current_dummy)print("加载数据完毕")return data
#   return data , cluster_locationdef randomize_data(data):"""该功能将数据随机化，并保持随机化顺序的记录"""order = list(range(0, len(data)))random.shuffle(order)new_data = [[] for i in range(0, len(data))]for index in range(0, len(order)):new_data[index] = data[order[index]]return new_data, orderdef de_randomise_data(data, order):"""此函数将返回数据的原始顺序，将randomise_data()返回的order列表作为参数"""new_data = [[]for i in range(0, len(data))]for index in range(len(order)):new_data[order[index]] = data[index]return new_datadef print_matrix(list):""" 以可重复的方式打印矩阵"""for i in range(0, len(list)):print (list[i])def initialize_U(data, cluster_number):"""这个函数是隶属度矩阵U的每行加起来都为1. 此处需要一个全局变量MAX."""global MAXU = []for i in range(0, len(data)):current = []rand_sum = 0.0for j in range(0, cluster_number):dummy = random.randint(1,int(MAX))current.append(dummy)rand_sum += dummyfor j in range(0, cluster_number):current[j] = current[j] / rand_sumU.append(current)return Udef distance(point, center):"""该函数计算2点之间的距离（作为列表）。我们指欧几里德距离。闵可夫斯基距离"""if len(point) != len(center):return -1dummy = 0.0for i in range(0, len(point)):dummy += abs(point[i] - center[i]) ** 2return math.sqrt(dummy)def end_conditon(U, U_old):"""结束条件。当U矩阵随着连续迭代停止变化时，触发结束"""global Epsilonfor i in range(0, len(U)):for j in range(0, len(U[0])):if abs(U[i][j] - U_old[i][j]) > Epsilon :return Falsereturn Truedef normalise_U(U):"""在聚类结束时使U模糊化。每个样本的隶属度最大的为1，其余为0"""for i in range(0, len(U)):maximum = max(U[i])for j in range(0, len(U[0])):if U[i][j] != maximum:U[i][j] = 0else:U[i][j] = 1return U# m的最佳取值范围为[1.5，2.5]
def fuzzy(data, cluster_number, m):"""这是主函数，它将计算所需的聚类中心，并返回最终的归一化隶属矩阵U.参数是：簇数(cluster_number)和隶属度的因子(m)"""# 初始化隶属度矩阵UU = initialize_U(data, cluster_number)# print_matrix(U)# 循环更新Uwhile (True):# 创建它的副本，以检查结束条件U_old = copy.deepcopy(U)# 计算聚类中心C = []for j in range(0, cluster_number):current_cluster_center = []for i in range(0, len(data[0])):dummy_sum_num = 0.0dummy_sum_dum = 0.0for k in range(0, len(data)):# 分子dummy_sum_num += (U[k][j] ** m) * data[k][i]# 分母dummy_sum_dum += (U[k][j] ** m)# 第i列的聚类中心current_cluster_center.append(dummy_sum_num/dummy_sum_dum)# 第j簇的所有聚类中心C.append(current_cluster_center)# 创建一个距离向量, 用于计算U矩阵。distance_matrix =[]for i in range(0, len(data)):current = []for j in range(0, cluster_number):current.append(distance(data[i], C[j]))distance_matrix.append(current)# 更新Ufor j in range(0, cluster_number):  for i in range(0, len(data)):dummy = 0.0for k in range(0, cluster_number):# 分母dummy += (distance_matrix[i][j ] / distance_matrix[i][k]) ** (2/(m-1))U[i][j] = 1 / dummyif end_conditon(U, U_old):print ("结束聚类")breakprint ("标准化 U")U = normalise_U(U)return Udef checker_iris(final_location):"""和真实的聚类结果进行校验比对"""right = 0.0for k in range(0, 3):checker =[0,0,0]for i in range(0, 50):for j in range(0, len(final_location[0])):if final_location[i + (50*k)][j] == 1:  #i+(50*k)表示 j表示第j类checker[j] += 1  #checker分别统计每一类分类正确的个数    right += max(checker) #累加分类正确的个数print ('分类正确的个数是:',right)answer =  right / 150 * 100return "准确率：" + str(answer) +  "%"if __name__ == '__main__':# 加载数据data = import_data_format_iris("iris.txt")# print_matrix(data)# 随机化数据data , order = randomize_data(data)# print_matrix(data)start = time.time()# 现在我们有一个名为data的列表，它只是数字# 我们还有另一个名为cluster_location的列表，它给出了正确的聚类结果位置# 调用模糊C均值函数final_location = fuzzy(data , 3 , 2)# 还原数据final_location = de_randomise_data(final_location, order)
#   print_matrix(final_location)# 准确度分析print (checker_iris(final_location))print ("用时：{0}".format(time.time() - start))

如果要用你自己的数据集做聚类：替换下面代码的data为你自己的数据集；自己写一个准确率的判断方法。

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Wed Mar 27 10:51:45 2019
模糊c聚类:https://blog.csdn.net/lyxleft/article/details/88964494
@author: youxinlin
"""
import copy
import math
import random
import timeglobal MAX # 用于初始化隶属度矩阵U
MAX = 10000.0global Epsilon  # 结束条件
Epsilon = 0.0000001def print_matrix(list):""" 以可重复的方式打印矩阵"""for i in range(0, len(list)):print (list[i])def initialize_U(data, cluster_number):"""这个函数是隶属度矩阵U的每行加起来都为1. 此处需要一个全局变量MAX."""global MAXU = []for i in range(0, len(data)):current = []rand_sum = 0.0for j in range(0, cluster_number):dummy = random.randint(1,int(MAX))current.append(dummy)rand_sum += dummyfor j in range(0, cluster_number):current[j] = current[j] / rand_sumU.append(current)return Udef distance(point, center):"""该函数计算2点之间的距离（作为列表）。我们指欧几里德距离。闵可夫斯基距离"""if len(point) != len(center):return -1dummy = 0.0for i in range(0, len(point)):dummy += abs(point[i] - center[i]) ** 2return math.sqrt(dummy)def end_conditon(U, U_old):"""结束条件。当U矩阵随着连续迭代停止变化时，触发结束"""global Epsilonfor i in range(0, len(U)):for j in range(0, len(U[0])):if abs(U[i][j] - U_old[i][j]) > Epsilon :return Falsereturn Truedef normalise_U(U):"""在聚类结束时使U模糊化。每个样本的隶属度最大的为1，其余为0"""for i in range(0, len(U)):maximum = max(U[i])for j in range(0, len(U[0])):if U[i][j] != maximum:U[i][j] = 0else:U[i][j] = 1return Udef fuzzy(data, cluster_number, m):"""这是主函数，它将计算所需的聚类中心，并返回最终的归一化隶属矩阵U.输入参数：簇数(cluster_number)、隶属度的因子(m)的最佳取值范围为[1.5，2.5]"""# 初始化隶属度矩阵UU = initialize_U(data, cluster_number)# print_matrix(U)# 循环更新Uwhile (True):# 创建它的副本，以检查结束条件U_old = copy.deepcopy(U)# 计算聚类中心C = []for j in range(0, cluster_number):current_cluster_center = []for i in range(0, len(data[0])):dummy_sum_num = 0.0dummy_sum_dum = 0.0for k in range(0, len(data)):# 分子dummy_sum_num += (U[k][j] ** m) * data[k][i]# 分母dummy_sum_dum += (U[k][j] ** m)# 第i列的聚类中心current_cluster_center.append(dummy_sum_num/dummy_sum_dum)# 第j簇的所有聚类中心C.append(current_cluster_center)# 创建一个距离向量, 用于计算U矩阵。distance_matrix =[]for i in range(0, len(data)):current = []for j in range(0, cluster_number):current.append(distance(data[i], C[j]))distance_matrix.append(current)# 更新Ufor j in range(0, cluster_number): for i in range(0, len(data)):dummy = 0.0for k in range(0, cluster_number):# 分母dummy += (distance_matrix[i][j ] / distance_matrix[i][k]) ** (2/(m-1))U[i][j] = 1 / dummyif end_conditon(U, U_old):print ("已完成聚类")breakU = normalise_U(U)return U if __name__ == '__main__':data= [[6.1, 2.8, 4.7, 1.2], [5.1, 3.4, 1.5, 0.2], [6.0, 3.4, 4.5, 1.6], [4.6, 3.1, 1.5, 0.2], [6.7, 3.3, 5.7, 2.1], [7.2, 3.0, 5.8, 1.6], [6.7, 3.1, 4.4, 1.4], [6.4, 2.7, 5.3, 1.9], [4.8, 3.0, 1.4, 0.3], [7.9, 3.8, 6.4, 2.0], [5.2, 3.5, 1.5, 0.2], [5.9, 3.0, 5.1, 1.8], [5.7, 2.8, 4.1, 1.3], [6.8, 3.2, 5.9, 2.3], [5.4, 3.4, 1.5, 0.4], [5.4, 3.7, 1.5, 0.2], [6.6, 3.0, 4.4, 1.4], [5.1, 3.5, 1.4, 0.2], [6.0, 2.2, 4.0, 1.0], [7.7, 2.8, 6.7, 2.0], [6.3, 2.8, 5.1, 1.5], [7.4, 2.8, 6.1, 1.9], [5.5, 4.2, 1.4, 0.2], [5.7, 3.0, 4.2, 1.2], [5.5, 2.6, 4.4, 1.2], [5.2, 3.4, 1.4, 0.2], [4.9, 3.1, 1.5, 0.1], [4.6, 3.6, 1.0, 0.2], [4.6, 3.2, 1.4, 0.2], [5.8, 2.7, 3.9, 1.2], [5.0, 3.4, 1.5, 0.2], [6.1, 3.0, 4.6, 1.4], [4.7, 3.2, 1.6, 0.2], [6.7, 3.3, 5.7, 2.5], [6.5, 3.0, 5.8, 2.2], [5.4, 3.4, 1.7, 0.2], [5.8, 2.7, 5.1, 1.9], [5.4, 3.9, 1.3, 0.4], [5.3, 3.7, 1.5, 0.2], [6.1, 3.0, 4.9, 1.8], [7.2, 3.2, 6.0, 1.8], [5.5, 2.3, 4.0, 1.3], [5.7, 2.8, 4.5, 1.3], [4.9, 2.4, 3.3, 1.0], [5.4, 3.0, 4.5, 1.5], [5.0, 3.5, 1.6, 0.6], [5.2, 4.1, 1.5, 0.1], [5.8, 4.0, 1.2, 0.2], [5.4, 3.9, 1.7, 0.4], [6.5, 3.2, 5.1, 2.0], [5.5, 2.4, 3.7, 1.0], [5.0, 3.5, 1.3, 0.3], [6.3, 2.5, 5.0, 1.9], [6.9, 3.1, 4.9, 1.5], [6.2, 2.2, 4.5, 1.5], [6.3, 3.3, 4.7, 1.6], [6.4, 3.2, 4.5, 1.5], [4.7, 3.2, 1.3, 0.2], [5.5, 2.4, 3.8, 1.1], [5.0, 2.0, 3.5, 1.0], [4.4, 2.9, 1.4, 0.2], [4.8, 3.4, 1.9, 0.2], [6.3, 3.4, 5.6, 2.4], [5.5, 2.5, 4.0, 1.3], [5.7, 2.5, 5.0, 2.0], [6.5, 3.0, 5.2, 2.0], [6.7, 3.0, 5.0, 1.7], [5.2, 2.7, 3.9, 1.4], [6.9, 3.1, 5.1, 2.3], [7.2, 3.6, 6.1, 2.5], [4.8, 3.0, 1.4, 0.1], [6.3, 2.9, 5.6, 1.8], [5.1, 3.5, 1.4, 0.3], [6.9, 3.1, 5.4, 2.1], [5.6, 3.0, 4.1, 1.3], [7.7, 2.6, 6.9, 2.3], [6.4, 2.9, 4.3, 1.3], [5.8, 2.7, 4.1, 1.0], [6.1, 2.9, 4.7, 1.4], [5.7, 2.9, 4.2, 1.3], [6.2, 2.8, 4.8, 1.8], [4.8, 3.4, 1.6, 0.2], [5.6, 2.9, 3.6, 1.3], [6.7, 2.5, 5.8, 1.8], [5.0, 3.4, 1.6, 0.4], [6.3, 3.3, 6.0, 2.5], [5.1, 3.8, 1.9, 0.4], [6.6, 2.9, 4.6, 1.3], [5.1, 3.3, 1.7, 0.5], [6.3, 2.5, 4.9, 1.5], [6.4, 3.1, 5.5, 1.8], [6.2, 3.4, 5.4, 2.3], [6.7, 3.1, 5.6, 2.4], [4.6, 3.4, 1.4, 0.3], [5.5, 3.5, 1.3, 0.2], [5.6, 2.7, 4.2, 1.3], [5.6, 2.8, 4.9, 2.0], [6.2, 2.9, 4.3, 1.3], [7.0, 3.2, 4.7, 1.4], [5.0, 3.2, 1.2, 0.2], [4.3, 3.0, 1.1, 0.1], [7.7, 3.8, 6.7, 2.2], [5.6, 3.0, 4.5, 1.5], [5.8, 2.7, 5.1, 1.9], [5.8, 2.8, 5.1, 2.4], [4.9, 3.1, 1.5, 0.1], [5.7, 3.8, 1.7, 0.3], [7.1, 3.0, 5.9, 2.1], [5.1, 3.7, 1.5, 0.4], [6.3, 2.7, 4.9, 1.8], [6.7, 3.0, 5.2, 2.3], [5.1, 2.5, 3.0, 1.1], [7.6, 3.0, 6.6, 2.1], [4.5, 2.3, 1.3, 0.3], [4.9, 3.0, 1.4, 0.2], [6.5, 2.8, 4.6, 1.5], [5.7, 4.4, 1.5, 0.4], [6.8, 3.0, 5.5, 2.1], [4.9, 2.5, 4.5, 1.7], [5.1, 3.8, 1.5, 0.3], [6.5, 3.0, 5.5, 1.8], [5.7, 2.6, 3.5, 1.0], [5.1, 3.8, 1.6, 0.2], [5.9, 3.0, 4.2, 1.5], [6.4, 3.2, 5.3, 2.3], [4.4, 3.0, 1.3, 0.2], [6.1, 2.8, 4.0, 1.3], [6.3, 2.3, 4.4, 1.3], [5.0, 2.3, 3.3, 1.0], [5.0, 3.6, 1.4, 0.2], [5.9, 3.2, 4.8, 1.8], [6.4, 2.8, 5.6, 2.2], [6.1, 2.6, 5.6, 1.4], [5.6, 2.5, 3.9, 1.1], [6.0, 2.7, 5.1, 1.6], [6.0, 3.0, 4.8, 1.8], [6.4, 2.8, 5.6, 2.1], [6.0, 2.9, 4.5, 1.5], [5.8, 2.6, 4.0, 1.2], [7.7, 3.0, 6.1, 2.3], [5.0, 3.3, 1.4, 0.2], [6.9, 3.2, 5.7, 2.3], [6.8, 2.8, 4.8, 1.4], [4.8, 3.1, 1.6, 0.2], [6.7, 3.1, 4.7, 1.5], [4.9, 3.1, 1.5, 0.1], [7.3, 2.9, 6.3, 1.8], [4.4, 3.2, 1.3, 0.2], [6.0, 2.2, 5.0, 1.5], [5.0, 3.0, 1.6, 0.2]]start = time.time()# 调用模糊C均值函数res_U = fuzzy(data , 3 , 2)# 计算准确率print ("用时：{0}".format(time.time() - start))

参考资料

J. C. Dunn (1973): "A Fuzzy Relative of the ISODATA Process and Its Use in Detecting Compact Well-Separated Clusters", Journal of Cybernetics 3: 32-57

J. C. Bezdek (1981): "Pattern Recognition with Fuzzy Objective Function Algoritms", Plenum Press, New York

Pang-Ning Tan, et al.数据挖掘导论

http://home.deib.polimi.it/matteucc/Clustering/tutorial_html/cmeans.html

https://blog.csdn.net/zwqhehe/article/details/75174918