一、引入

假设有6个函数，每个函数有6个独立的变量，即：

y1=f1(x1,x2,x3,x4,x5,x6)y2=f2(x1,x2,x3,x4,x5,x6)⋮y6=f6(x1,x2,x3,x4,x5,x6)\begin{matrix} y_1 = f_1(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6)\\ y_2 = f_2(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6)\\ \vdots \\ y_6 = f_6(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6)\\ \end{matrix}y1=f1(x1,x2,x3,x4,x5,x6)y2=f2(x1,x2,x3,x4,x5,x6)⋮y6=f6(x1,x2,x3,x4,x5,x6)

我们用矢量形式表达上式，即：

Y=F(X)Y = F(X)Y=F(X)

现在，如果我们要计算yiy_iyi的微分关于xix_ixi的微分的函数，通过多元函数求导法则，可以计算出：

δy1=∂f1∂x1δx1+∂f1∂x2δx2+⋯+∂f1∂x6δx6δy2=∂f2∂x1δx1+∂f2∂x2δx2+⋯+∂f2∂x6δx6⋮δy6=∂f6∂x1δx1+∂f6∂x2δx2+⋯+∂f6∂x6δx6\begin{matrix} \delta y_1 = \frac{\partial f_1}{\partial x_1}\delta x_1 + \frac{\partial f_1}{\partial x_2}\delta x_2 + \cdots + \frac{\partial f_1}{\partial x_6}\delta x_6 \\ \\ \delta y_2 = \frac{\partial f_2}{\partial x_1}\delta x_1 + \frac{\partial f_2}{\partial x_2}\delta x_2 + \cdots + \frac{\partial f_2}{\partial x_6}\delta x_6\\ \vdots \\ \delta y_6 = \frac{\partial f_6}{\partial x_1}\delta x_1 + \frac{\partial f_6}{\partial x_2}\delta x_2 + \cdots + \frac{\partial f_6}{\partial x_6}\delta x_6 \end{matrix}δy1=∂x1∂f1δx1+∂x2∂f1δx2+⋯+∂x6∂f1δx6δy2=∂x1∂f2δx1+∂x2∂f2δx2+⋯+∂x6∂f2δx6⋮δy6=∂x1∂f6δx1+∂x2∂f6δx2+⋯+∂x6∂f6δx6

同样，我们以矢量形式表示：

δY=∂F∂XδX(1)\delta Y = \frac{\partial{F}}{\partial{X}}\delta X \tag{1}δY=∂X∂FδX(1)

式（1）中的∂F∂X\frac{\partial{F}}{\partial{X}}∂X∂F为6×66\times66×6偏导数矩阵。它，就是我们所说的雅克比矩阵JJJ

速度映射

如果f1(X)f_1(X)f1(X)到f6(X)f_6(X)f6(X)都是非线性函数，那么，这些偏导数都是关于xix_ixi的函数，我们可以用以下式子表达：

δY=J(X)δX(2)\delta Y = J(X) \delta X \tag{2}δY=J(X)δX(2)

式（2）两边同时除以时间微分dtd_tdt，我们就可以将雅克比矩阵看作是XXX中的速度映射为YYY中的速度：

Y˙=J(X)X˙\dot{Y} = J(X)\dot XY˙=J(X)X˙

在任一瞬间，X都有一个确定的值，J(X)J(X)J(X)是个线性变换，在每一新时刻，如果X发生改变，J(X)J(X)J(X)也会发生改变

在机器人学中，通常使用雅克比将关节速度与操作臂末端的速度联系起来：

v=J(θ)Θ˙(3)v = J(\theta)\dot \Theta \tag 3v=J(θ)Θ˙(3)

其中，Θ\ThetaΘ为关节角组成的向量，vvv为速度向量。对于6关节机械臂，雅克比矩阵为J∈R6×6J \in \mathbb{R}^{6\times6}J∈R6×6，关节角Θ∈R6×1\Theta \in \mathbb{R}^{6\times1}Θ∈R6×1，速度v∈R6×1v \in \mathbb{R}^{6\times1}v∈R6×1，而vvv是由一个3×13\times13×1的线速度和一个3×13\times13×1的角速度所组成，表达为：

v=[vω]v = \begin{bmatrix} v\\ \omega \end{bmatrix}v=[vω]

对于两连杆机构，如下图，我们很容易写出它的关节速度(世界坐标系下)与执行器末端速度的关系：

vw=[−l1s1θ˙1−l2s12(θ˙1+θ˙2)l1c1θ˙1+l2c12(θ˙1θ˙2)0]=[−l1s1−l2s12−l2s12l1c1+l2c12l2c12000][θ˙1θ˙20]v_w = \begin{bmatrix} -l_1s_1\dot\theta_1-l_2s_{12}(\dot \theta_1 + \dot \theta_2)\\ l_1c_1\dot \theta_1 +l_2c_{12}(\dot \theta_1 \dot \theta_2)\\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -l_1s_1-l_2s_{12} & -l_2s_{12}\\ l_1c_1 + l_2c_{12} & l_2c_{12} \\ 0 &0&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dot \theta_1\\ \dot \theta_2 \\ 0 \end{bmatrix} vw=⎣⎡−l1s1θ˙1−l2s12(θ˙1+θ˙2)l1c1θ˙1+l2c12(θ˙1θ˙2)0⎦⎤=⎣⎡−l1s1−l2s12l1c1+l2c120−l2s12l2c1200⎦⎤⎣⎡θ˙1θ˙20⎦⎤

以及相对于执行器末端的速度：

vb=[l1s2θ˙1l1c2θ˙1+l2(θ˙1+θ˙2)0]=[l1s200l1c2+l2l20000][θ˙1θ˙20]v_b = \begin{bmatrix} l_1s_2 \dot \theta_1 \\ l_1c_2\dot \theta_1 + l_2(\dot \theta_1 +\dot \theta_2) \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} l_1s_2 & 0 &0\\ l_1c_2+l_2 & l_2 &0 \\ 0& 0&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dot \theta_1\\ \dot \theta_2 \\ 0 \end{bmatrix} vb=⎣⎡l1s2θ˙1l1c2θ˙1+l2(θ˙1+θ˙2)0⎦⎤=⎣⎡l1s2l1c2+l200l20000⎦⎤⎣⎡θ˙1θ˙20⎦⎤

因此，我们能够算出世界坐标系的雅克比矩阵为：

Jw(Θ)=[−l1s1−l2s12−l2s12l1c1+l2c12l2c12]J_w(\Theta) = \begin{bmatrix} -l_1s_1-l_2s_{12} & -l_2s_{12}\\ l_1c_1 + l_2c_{12} & l_2c_{12} \end{bmatrix}Jw(Θ)=[−l1s1−l2s12l1c1+l2c12−l2s12l2c12]

末端执行器坐标系下的雅克比：

Jb(Θ)=[l1s20l1c2+l2l2]J_b(\Theta) = \begin{bmatrix} l_1s_2 & 0\\ l_1c_2+l_2 & l_2 \end{bmatrix}Jb(Θ)=[l1s2l1c2+l20l2]

【关于四足机器人那些事】雅克比矩阵相关推荐

【关于四足机器人那些事】腿部运动学建模（三维）
本篇将会三维空间中,对四足机器人的腿部进行数学建模,求解器正逆运动学解,包含详细公式推导与计算首先,我们来看三维空间中简图: 其中a表示髋关节距离主体得偏移,L1,L2共面,与a保持垂直关系,[x, ...
【关于四足机器人那些事】直驱四足机器人Minitaur运动学建模
文章目录一.结构参数二.腿部运动空间随着人类环境中对机器人交互的需求不断增长,动态四足机器人的发展正成为人们越来越感兴趣的话题,但是它们需要自适应的控制方案来应对穿越现实世界地形时遇到的挑战. ...
【关于四足机器人那些事】零力矩点（zmp）
根据零力矩点理论分析机器人行进过程的稳定条件,利用稳定裕度的概念,在支撑多边形中求取最优稳定点来规划零力矩点．可以为避免 walk步态中频繁调整躯干姿态导致的能耗和行进速度损失[1] 此外," ...
AI一分钟 | 浙大研发出“踢不倒”的四足机器人；富士康冲击A股上市，AI为最大卖点
一分钟AI 滴滴公布新战略,成立战略事业群和智慧交通事业部浙江大学熊蓉教授的机器人团队发布"绝影"四足机器人,展现"快稳准"优异性能苹果智能音箱HomePo ...
赤兔四足机器人的作用_跑得快，打不死！清华大学开发“小强”机器人，壮汉狂踩也挡不住前进步伐...
大数据文摘编辑部出品提到蟑螂,很多同学都深恶痛绝. 这种身型小巧的虫子不仅跑得快.繁殖能力强,而且超级抗打抗压,在所有的环境下都能顽强地生存下去. 12mm高的蟑螂可以躲进4mm的缝隙也难怪周星驰 ...
UC伯克利给四足机器人加Buff：瞬间适应各种真实地形，抹了油的地面也能hold住...
丰色发自凹非寺量子位报道 | 公众号 QbitAI 随着四足机器人的应用越来越成功,它们面对的场景也会越来越多: 今天爬楼梯,明天过草地,后天又去坑坑洼洼的石子地-- 这么复杂多变的地形它们可 ...
5位华人学生开发出了机器导盲犬！四足机器人技能又+1
丰色发自凹非寺量子位报道 | 公众号 QbitAI 今天是四月的最后一个星期三,也是世界导盲犬日. 而在不久前,来自加州大学伯克利分校的研究团队,开发了一款机器人,可以用来壮大导盲犬的队伍了! ...
赤兔四足机器人的作用_腾讯 Robotics X 实验室四足移动机器人Jamoca首亮相，可挑战高难度梅花桩...
11月20日,腾讯公布了其在移动机器人研究方面的新进展:四足移动机器人 Jamoca 和自平衡轮式移动机器人首次对外亮相. Jamoca 是国内首个能完成走梅花桩复杂挑战的四足机器人,而自平衡轮式移动 ...
会自学的四足机器人，3.5个小时学会走路！
近日,Google的最新研究可能会使这种学习过程变得更加简单. 谷歌,加州大学伯克利分校和佐治亚理工学院的研究人员联合发表了一篇论文,构建了一个通过AI自学走路的四足机器人,并将它取名为"R ...

【关于四足机器人那些事】雅克比矩阵

一、引入

速度映射

【关于四足机器人那些事】雅克比矩阵相关推荐

最新文章

热门文章