LCS(最长公共子序列)递归/动态规划

思路来自邓俊辉—数据结构(C++)

2019/08/23
递归思路
　对于序列A[0,n] 和B[0,m]， LCS(A, B)有三种情况：
　　0)若n = -1或m = -1，则取作空序列(" ")；
　　1)若A[n] == ‘X’ == B[m]，则取作LCS( A[0, n) , B[0, m) + ‘X’；
　　2)若A[n] != B[m]，则在LCS( A[0, n], B[0, m) ) 与LCS( A[0, n), B[0, m] ) 中取更长者；
　　代码1.0(返回重复个数)

int LCS(const string& a, const string& b){   //返回公共子序列的字符个数int n = a.length();int m = b.length();if(n == 0 || m ==0)  //情况1return 0;else if (a.back() == b.back())  //情况2return LCS(a.substr(0, n - 1), b.substr(0, m-1)) + 1;else //情况3return max(LCS(a.substr(0, n), b.substr(0, m - 1)),  //取两者最大值LCS(a.substr(0, n - 1), b.substr(0, m)));
}

2019/08/24
　　代码1.1(返回重复字符串)

string max(string A, string B){   //返回更长的字符串return A.length() > B.length() ? A : B;
}string LCS(string A, string B){int len_A = A.length();int len_B = B.length();if( len_A == 0 || len_B == 0)   //情况1return "";else if (A.back() == B.back())  //情况2return LCS(A.substr(0, len_A - 1), B.substr(0, len_B - 1)) + A.back();else   //情况3return max(LCS(A.substr(0, len_A), B.substr(0, len_B - 1)),LCS(A.substr(0, len_A - 1), B.substr(0, len_B)));
}

动态规划思路
　　1.为什么使用动态规划：采用动态规划时，并不需要去一一计算那些重叠了的子问题。或者说：用了动态规划之后，有些子问题是通过 “查表“ 直接得到的，而不是重新又计算一遍得到的。(类似Fib数列用递归方法计算时会重复计算部分项)

　　2.如何得到dp数组：
　　设序列X=<x1, x2, …, xm>和Y=<y1, y2, …, yn>的一个最长公共子序列Z=<z1, z2, …, zk>，则：
1.若xm=yn，则zk=xm=yn且Zk-1是Xm-1和Yn-1的最长公共子序列；

2.若xm≠yn且zk≠xm ，则Z是Xm-1和Y的最长公共子序列；

3.若xm≠yn且zk≠yn ，则Z是X和Yn-1的最长公共子序列。
其中Xm-1=<x1, x2, …, xm-1>，Yn-1=<y1, y2, …, yn-1>，Zk-1=<z1, z2, …, zk-1>。
简而言之一张图(注意图有一处错误：ｉ=0 或 j = 0时，C[i, j]不一定是0)：

　　
　　3.如何利用得到dp二维数组得到公共子序列：若两序列A[i]的元素和B[i]的元素相等，那么最长公共子序列为A[0, i -1], B[0, j - 1]的最长公共子序列的值加1。否则分别是A[0, i- 1], B[0 ,j] 或者A [0, i - 1], B[0, j ]的最长公共子序列的较大值。

　　代码2.0(动态规划)

int** LCS(const string a, const string b){ int la = a.length();  int lb = b.length();//创建动态二维数组 int **dp = new int *[la];for(int i = 0; i < la; ++i)dp[i] = new int[lb];//设置左、上边界的值for(int i = 0; i < lb; ++i)  //上if(a[0] == b[i])dp[0][i] = 1;else dp[0][i] = 0;for(int i = 0; i < la; ++i)  //左if(b[0] == a[i])dp[i][0] = 1;else dp[i][0] = 0;int maxium = 0; //记录最大值for(int i = 1; i < la; ++i)  //得到字符串a、b第i、j个字符for(int j =1; j < lb; ++j){if(a[i] == b[j])dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;elsedp[i][j] = max(dp[i -1][j], dp[i][j - 1]);if(dp[i][j] > maxium)maxium = dp[i][j];}string result = "";  //保存公共子序列int k = la, t = lb;while (maxium >= 0) {if (a[k] == b[t]) {result += a[k];--k; --t;--maxium;}else {if (dp[k][t - 1] >= dp[k - 1][t])   --t;else --k;}}reverse(result.begin(), result.end());  //头文件<algorithm>cout << result << endl;return dp;//主函数一定要记得销毁二维动态数组所占的空间}

tip :创建、销毁动态二维数组

//创建动态二维数组
int **dp = new int *[la];
for(int i = 0; i < la; ++i)dp[i] = new int[lb];
//销毁动态二维数组
for(int i = 0; i < la; ++i){delete[] dp[i];dp[i] = NULL;
}
delete[] dp;
dp = NULL;

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