动态规划求解LCS最长公共子序列问题c++

文章目录

求最长公共子序列
- 最长公共子序列问题
- 刻画最长公共子序列的特征
- 递归公式
- C++代码
- - 求最长公共子序列长度
  - 打印任意一组最长公共子序列
- 模板题

求最长公共子序列

最长公共子序列问题

（Longest-Common-Subsequence problem）给定两个序列 XXX = <x1x_1x1，x2x_2x2，…{\ldots}…，xmx_mxm> 和 YYY= <y1y_1y1，y2y_2y2，…{\ldots}…，yny_nyn> ，求XXX和YYY长度最长的公共子序列。

一个字符串 sss 被称作另一个字符串 SSS 的子序列，说明从序列 SSS
通过去除某些元素但不破坏余下元素的相对位置（在前或在后）可得到序列 sss 。

例如：有两个字符串 SSS 和 TTT ，SSS = “abcde”，TTT = “acbfe”，那么SSS，TTT的最长公共子序列就是 “ace”，长度为3。

刻画最长公共子序列的特征

LCS的最优子结构：令XXX = <x1x_1x1，x2x_2x2，…{\ldots}…，xmx_mxm> 和 YYY=
<y1y_1y1，y2y_2y2，…{\ldots}…，yny_nyn> 为两个序列，ZZZ =
<z1z_1z1，z2z_2z2，…{\ldots}…，zkz_kzk> 为XXX和YYY的任意LCSLCSLCS。

如果 xmx_mxm = yny_nyn ，则zkz_kzk = xmx_mxm = yny_nyn，且Zk−1Z_{k-1}Zk−1是Xm−1X_{m-1}Xm−1和Yn−1Y_{n-1}Yn−1的一个LCSLCSLCS。

如果xmx_mxm ≠\neq= yny_nyn，那么zkz_kzk ≠\neq= xmx_mxm意味着ZZZ是Xm−1X_{m-1}Xm−1 和 YYY 的一个LCSLCSLCS。

如果xmx_mxm ≠\neq= yny_nyn，那么zkz_kzk ≠\neq= yny_nyn意味着ZZZ是XXX 和 Yn−1Y_{n-1}Yn−1 的一个LCSLCSLCS。

递归公式

根据 LCSLCSLCS 问题的最优子结构性质，可以得到如下公式：

其中dp[ i ] [ j ]表示 S1iS1_iS1i 和 S2jS2_jS2j 的LCSLCSLCS长度。

C++代码

求最长公共子序列长度

int dp[1010][1010];
int main()
{string s1,s2;cin>>s1>>s2int len1=s1.length();int len2=s2.length();memset(dp,0,sizeof(dp));for(int i=1;i<=len1;i++)for(int j=1;j<=len2;j++){if(s1[i-1]==s2[j-1])dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;else dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);}cout<<dp[len1][len2]<<endl;
}

打印任意一组最长公共子序列

int dp[3010][3010];
int b[3010][3010];//记录路径
void print_LCS(string s,int i,int j)
{if(i==0 || j==0) return;if(b[i][j]==0){print_LCS(s,i-1,j-1);cout<<s[i-1];                                                     }else if(b[i][j]==-1){print_LCS(s,i-1,j);}else print_LCS(s,i,j-1);
}
int main()
{string s,t;cin>>s>>t;int len1=s.length();int len2=t.length();memset(dp,0,sizeof(dp));for(int i=1;i<=len1;i++)for(int j=1;j<=len2;j++){if(s[i-1]==t[j-1]){dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;b[i][j]=0;//0表示指向左上方 }else if(dp[i-1][j]>=dp[i][j-1]){dp[i][j]=dp[i-1][j];b[i][j]=-1;//-1表示指向上方 }else{dp[i][j]=dp[i][j-1];b[i][j]=1;//1表示指向左方 }}print_LCS(s,len1,len2);return 0;
}

模板题

求最长公共子序列的长度

poj1458 Common Subsequence

打印最长公共子序列

luogu AT4527 LCS

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