常微分方程求解方法回顾

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常微分方程求解方法回顾
- 一阶常微分方程(First Order Ordinary Differential Equations)
- 二阶常系数线性微分方程(Second Order Constant Coefficient Linear Equations)

在微分方程中，称只有一个自变量函数的微分方程为常微分方程，有两个及以上自变量的微分方程为偏微分方程，给定微分方程及其初始条件，称为初值问题，给定微分方程及其边界条件，称为边值问题。

一阶常微分方程(First Order Ordinary Differential Equations)

可分离方程(Separable Equations)的求解
dydx=P(x)Q(y)∫dyQ(y)=∫P(x)dx+C(1)\begin{aligned} \frac{d y}{d x} &=P(x) Q(y) \\ \int \frac{d y}{Q(y)} &=\int P(x) d x+C \end{aligned}\tag{1} dxdy∫Q(y)dy=P(x)Q(y)=∫P(x)dx+C(1)
一阶线性微分方程(Linear First-Order Equation)的求解：
对于如下形式的常微分方程：
y′(x)+P(x)y=Q(x)(2)y^{\prime}(x)+P(x) y=Q(x)\tag{2} y′(x)+P(x)y=Q(x)(2)
如果我们能够找到函数F(x)F(x)F(x)，与式(2)相乘能够将式222左侧变为(Fy)′(Fy)^{'}(Fy)′的形式，如下：
Fy′+FPy=FQ(Fy)′=Fy′+F′y=FQ(3)\begin{array}{c} \begin{aligned} &F y^{\prime}+F P y=F Q \\ &(F y)^{\prime}=F y^{\prime}+F^{\prime} y=F Q \end{aligned} \end{array}\tag{3} Fy′+FPy=FQ(Fy)′=Fy′+F′y=FQ(3)
即要求F′=FPF^{'}=FPF′=FP，此为可分离方程：
dFF(x)=P(x)dx⇒∫dFF=∫P(x)dx+C(4)\frac{d F}{F(x)}=P(x) d x \Rightarrow \int \frac{d F}{F}=\int P(x) d x+C\tag{4} F(x)dF=P(x)dx⇒∫FdF=∫P(x)dx+C(4)
由式(1)解得：
ln⁡F=∫P(x)dx+CF=Ae∫P(x)dxchoose A=1(5)\begin{aligned} &\ln F=\int P(x) d x+C\\ &F=A \mathrm{e}^{\int P(x) d x} \text { choose }A=1 \end{aligned}\tag{5} lnF=∫P(x)dx+CF=Ae∫P(x)dx choose A=1(5)
将式(5)带入式(2)解得：
e∫P(x)dxy′+e∫P(x)dxP(x)y=e∫P(x)dxQ(x)(e∫P(x)dxy)′=e∫P(x)dxQ(x)y(x)=e−∫P(x)dx{∫exP(t)dtQ(x)dx+C}(6)\begin{array}{c} \begin{aligned} &\mathrm{e}^{\int P(x) d x} y^{\prime}+\mathrm{e}^{\int P(x) d x} P(x) y=\mathrm{e}^{\int P(x) d x} Q(x) \\ &\left(\mathrm{e}^{\int P(x) d x} y\right)^{\prime}=\mathrm{e}^{\int P(x) d x} Q(x) \\ &\left.y(x)=\mathrm{e}^{-\int P(x) d x\left\{\int \mathrm{e}^{x} P(t) d t\right.} Q(x) d x+C\right\} \end{aligned} \end{array}\tag{6} e∫P(x)dxy′+e∫P(x)dxP(x)y=e∫P(x)dxQ(x)(e∫P(x)dxy)′=e∫P(x)dxQ(x)y(x)=e−∫P(x)dx{∫exP(t)dtQ(x)dx+C}(6)

二阶常系数线性微分方程(Second Order Constant Coefficient Linear Equations)

将ay′′+by′+cy=f(x)ay^{''}+by^{'}+cy=f(x)ay′′+by′+cy=f(x)称为二阶线性微分方程，当f(x)=0f(x)=0f(x)=0时，称为二阶常系数线性微分方程(也称二阶齐次线性微分方程)，如下：
Ly=ay′′+by′+cy=0(7)L y=a y^{\prime \prime}+b y^{\prime}+c y=0\tag{7} Ly=ay′′+by′+cy=0(7)
其中a、b、ca、b、ca、b、c为实常数，假设y=erxy′=rerxy′′=r2erxy=\mathrm{e}^{r x} \quad y^{\prime}=r \mathrm{e}^{r x} \quad y^{\prime \prime}=r^{2} \mathrm{e}^{r x}y=erxy′=rerxy′′=r2erx，为上式的一个特解，则：
Ly=[ar2+br+c]erx=0(8)L y=\left[a r^{2}+b r+c\right] \mathrm{e}^{r x}=0\tag{8} Ly=[ar2+br+c]erx=0(8)
即有：
g(r)=[ar2+br+c]=0(9)g(r)=\left[a r^{2}+b r+c\right]=0\tag{9} g(r)=[ar2+br+c]=0(9)
当Δ=b2−4ac>0\Delta=b^2-4ac>0Δ=b2−4ac>0时，式(9)有两个不同的解r1,r2r_1,r_2r1,r2，由此得到式(7)的通解：
y(x)=c1er1x+c2er2x(10)y(x)=c_{1} \mathrm{e}^{r_{1} x}+c_{2} \mathrm{e}^{r_{2} x}\tag{10} y(x)=c1er1x+c2er2x(10)
当Δ=b2−4ac=0\Delta=b^2 - 4ac=0Δ=b2−4ac=0时，式(9)有两个相同的解r1=r2r_1=r_2r1=r2，由此得到式(7)的唯一解：
y(x)=er1x(11)y(x)=e^{r_1x}\tag{11} y(x)=er1x(11)
此时如果我们依旧想要得到两个不同的解，我们可以对唯一解添加一个微小的扰动(perturbation)，来得到两个不同的解，如下图所示：

此时g(r)=a(r−(r1−ϵ))(r−(r1+ϵ))=a[(r−r1)2−ϵ2]≈a(r−r1)2g(r)=a\left(r-\left(r_{1}-\epsilon\right)\right)\left(r-\left(r_{1}+\epsilon\right)\right)=a\left[\left(r-r_{1}\right)^{2}-\epsilon^{2}\right] \approx a\left(r-r_{1}\right)^{2}g(r)=a(r−(r1−ϵ))(r−(r1+ϵ))=a[(r−r1)2−ϵ2]≈a(r−r1)2，即g(x)g(x)g(x)有两个非常接近但不同的跟：
r=r1+ϵ;r=r1−ϵ(12)r=r_1+\epsilon;r=r_1-\epsilon\tag{12} r=r1+ϵ;r=r1−ϵ(12)
即可得到扰动下的通解：
y(x)=c1er1x+c2er2x(13)y(x)=c_{1} \mathrm{e}^{r_{1} x}+c_{2} \mathrm{e}^{r_{2} x}\tag{13} y(x)=c1er1x+c2er2x(13)
如下图所示，取c1=12ϵ=−c2c_1=\frac{1}{2\epsilon}=-c_2c1=2ϵ1=−c2，则：
y(x,ϵ)=e(r1+ϵ)x−e(r1−ϵ)x2ϵ≈∣∂∂rerx∣r=r1(14)y(x, \epsilon)=\frac{\mathrm{e}^{\left(r_{1}+\epsilon\right) x}-\mathrm{e}^{\left(r_{1}-\epsilon\right) x}}{2 \epsilon} \approx\left|\frac{\partial}{\partial r} \mathrm{e}^{r x}\right|_{r=r_{1}}\tag{14} y(x,ϵ)=2ϵe(r1+ϵ)x−e(r1−ϵ)x≈∣∣∣∣∂r∂erx∣∣∣∣r=r1(14)
利用洛必达法则(L’Hospital’s Rule)，即得：
y(x,ϵ)=er1x(eϵx−e−ϵx2ϵ)⟶ϵ→0xer1x=∣∂∂rerx∣r=r1(15)y(x, \epsilon)=\mathrm{e}^{r_{1} x}\left(\frac{e^{\epsilon x}-\mathrm{e}^{-\epsilon x}}{2 \epsilon}\right) \stackrel{\epsilon \rightarrow 0}{\longrightarrow} x \mathrm{e}^{r_{1} x}=\left|\frac{\partial}{\partial r} \mathrm{e}^{r x}\right|_{r=r_{1}}\tag{15} y(x,ϵ)=er1x(2ϵeϵx−e−ϵx)⟶ϵ→0xer1x=∣∣∣∣∂r∂erx∣∣∣∣r=r1(15)
即xer1xxe^{r_1x}xer1x也是式(9)的一个解，因此得到式(9)的通解：
y(x)=c1er1x+c2xer1x(16)y(x)=c_{1} \mathrm{e}^{r_{1} x}+c_{2} x \mathrm{e}^{r_{1} x}\tag{16} y(x)=c1er1x+c2xer1x(16)

当Δ=b2−4ac<0\Delta=b^2-4ac<0Δ=b2−4ac<0时，式(9)有复共轭跟(Complex Conjugate Roots)：
r±=−b2a±i4ac−b22a=λ±iμy(x)=c1e(λ+iμ)x+c2e(λ−iμ)x=eλx[Acos⁡μx+Bsin⁡μx](17)\begin{aligned} r_{\pm} &=-\frac{b}{2 a} \pm \frac{i \sqrt{4 a c-b^{2}}}{2 a}=\lambda \pm i \mu \\ y(x) &=c_{1} \mathrm{e}^{(\lambda+i \mu) x}+c_{2} \mathrm{e}^{(\lambda-i \mu) x} \\ &=\mathrm{e}^{\lambda x}[A \cos \mu x+B \sin \mu x] \end{aligned}\tag{17} r±y(x)=−2ab±2ai4ac−b2=λ±iμ=c1e(λ+iμ)x+c2e(λ−iμ)x=eλx[Acosμx+Bsinμx](17)
参考资料：

M257_316_2012_Lecture_1

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