关于斐波那契数列那些事儿~

斐波那契数列

C语言中:FIB数列
中文名:斐波那契数列
别名:黄金分割数列,兔子数列
该数列:0、1、1、2、3、5、8、13…
斐波那契数列以如下被以递推的方法定义:
F (0)=0
F (1)=1
F (n)= F (n - 1)+ F (n - 2)(n ≥ 2)

我们最常见的就是直接题目要求求斐波那契数列的第n项,这类是最简单的.
那么下列所求的斐波那契数列要求有所不同.
1.求斐波那契数列的第n项,答案需要取模le9+7(1000000007),如计算初始结果为:1000000008,请返回1.

class Solution {public int fib(int n) {final int MOD = 1000000007;if(n < 2){return n;}int p = 0, q = 0, r = 1;for(int i = 2; i <= n; i++){p = q;q = r;r = (q + p) % MOD;}return r;}
}

由于斐波那契数列存在速推关系,因此使用动态规划求解
时间复杂度:O(n)
空间复杂度:O(1)

2.经典青蛙跳台阶问题
一只青蛙一次可以跳上1级台阶,也可以跳上2级台阶…,求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法.

//答案需要取模le9+7(1000000007),如计算初始结果为:1000000008,请返回1
①
class Solution {public int numWays(int n) {if(n == 0 || n == 1){return 1;}int p = 1, q = 1, r = 2;for(int i = 3; i <= n; i++){p = q;q = r;r = (p + q) % 1000000007;}return r;}
}
②
class Solution {public int numWays(int n) {if(n == 0 || n == 1){return 1;}int p = 1, q = 2, r;for(int i = 3; i <= n; i++){r = (p + q) % 1000000007;p = q;q = r;}return q;}
}
③
class Solution {public int numWays(int n) {if(n < 2){return 1;}int[] dp = new int[n + 1];dp[0] = 1;dp[1] = 1;dp[2] = 2;for(int i = 3; i <= n; i++){dp[i] = dp[i - 1] + dp[i -2];dp[i] = dp[i] % 1000000007;}return dp[n];}
}

不难看出,第①种和第②种代码没多大差别
①~③都是使用动态规划
①和②:时间复杂度O(n)/空间复杂度O(1)
③:时间复杂度O(n)/空间复杂度O(n)
注:
1.如果题目没有要求答案需要取模,那么解题一个方法是可以按照上述,另一个就是改成long方法.
2.不难看出此题和斐波那契数列有一点区别,那就是斐波那契数列是从0开始,即(0,1,1,2…),而此题就是从1开始,即(1,1,2…)
多注意以上小细节那么解决此题就不是难事啦~

//不难观察出一个规律:
//F(i)= 2 * F(i - 1)
class Solution {public int numWays(int n) {if(n == 0){return 0;}int ret = 1;for(int i = 2; i <= n; i++){ret *= 2;}return ret;}
}
//既然是这个规律,那我们不妨再简化一下,运用左移运算符
class Solution {public int numWays(int n) {if(n == 0){return 0;}return 1 << (n - 1);}
}

3.养兔子

解题思路:
不难看出这个题目也是关于斐波那契数列
第一个月和第二个月兔子的数量都是1
第三个月兔子数量是2
第四个月兔子数量是3
第五个月兔子数量是5
…

import java.util.*;
public class Main{public static void main(String[] args){Scanner sc = new Scanner(System.in);while(sc.hasNext()){int n = sc.nextInt();System.out.println(GetNum(n));}}public static Map<Integer, Long> map = new HashMap<>();public static long GetNum(int n){if(n == 1 || n == 2){return 1;}else{if(map.containsKey(n)){return map.get(n);}else{map.put(n, GetNum(n - 1) + GetNum(n - 2));}return map.get(n);}}
}

未完待续~

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