具体数学-第10课(素数和阶乘的有趣性质)
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欧几里得数
首先我们来证明一下,素数有无穷多个。
假设素数只有 个,分别为 ,那么我们构造下面的数字:
显然 无法被 中的任意一个整除,那么要么 可以被其他的素数整除,要么 自己就是一个素数。所以素数有无穷多个。
下面我们来定义欧几里得数,是用递归形式来定义的:
那么欧几里得数是否是素数呢?当然不是的, 。
但是欧几里得数还是有很多奇妙的性质。
性质1
证明:
假设 ,那么有
性质2
如果令 等于 的最小素因子,那么 就是一个不重复的素数序列,这也证明了素数有无穷多个。
性质3
在后面的章节可以证明:
其中
下面我们稍稍探究一下下面这个数的性质:
这个数如果是素数,那么就被叫做梅森素数,那么它在什么情况下是素数呢?
首先 不能是合数,因为有
但是如果 是素数,这个数也不一定是素数,2017年年末美国一个电气工程师发现了人类历史上最大的梅森素数—— 。
阶乘
阶乘定义如下:
所以有
由基本不等式可以得到
所以
所以
这里得到了阶乘的一个粗略范围,在后面章节中,我们会得到阶乘的一个更精确的表达式:
这就是斯特林数,搞ACM还是很有用的。
下面我们来探讨 中含有多少个素因子 ,个数记为 。
从特殊情况讨论起,当 的时候,我们首先看 含有多少个2,然后看有多少个4,再看有多少个8,依次下去,所以答案为:
可以看出,这个答案不就是 的二进制表示不停右移1位,然后相加吗?所以又可以写成:
其中 表示 的二进制表示中1的个数。
推广到一般情况:
放缩一下有:
如果我们令 和 可以发现:
但是这个式子在什么情况下相等呢?这仍然是一个未解之谜。
所以 对 的贡献度满足如下式子:
又因为 ,所以
假设素数只有 个,分别为 ,那么有
如果我们令 ,那么
这与我们之前推过的不等式矛盾!所以一定有无穷个素数。
设小于等于 的素数个数为 ,所以
根据斯特林数公式,我们可以得到
互素
定义
和 互素定义为 ,记作 。
互素也有很多性质。
性质1
性质2
其中 就是两个数的素数指数表示法,详细定义见上一节课。
或者可以表示为
性质3
Stern-Brocot树
如上图所示,Stern-Brocot树就是0到1之间的分数生成的一棵二叉树。
初始时只有 两个数,第一轮将两者分母相加,分子也相加作为新的分数的分母分子。第二轮再对相邻的两个分数做相同的操作,生成新的分数序列。不断生成下去,得到了上图的二叉树。
Stern-Brocot树有下面四个性质:
- 0到1之间的所有有理数都出现在了这棵树中。
- 每个分数仅出现了1次。
- 每个分数都是不可约分的,即分子分母互素。
- 生成的序列是单调递增的。
下面我们来一个一个证明。
引理
对于相邻的两个分数 ,满足:
证明
用数学归纳法证明。
性质4就是证明:
结论是很显然的,这样性质2同时就成立了。
性质1的话,对于任意有理数 ,假设 。
我们采用如下策略生成 。
- 如果 ,那么成功。
- 如果 ,那么令 。
- 如果 ,那么令 。
那么有
所以
而左边式子就等于 ,所以
因为 都在不断增加,所以最多 轮就能生成 。
性质3的话,同样用数学归纳法。通过引理可以得到
由扩展欧几里得定理可以得到 与 互素。
Farey序列
我们引申出Farey序列的概念,定义如下:
关于它的更多性质,留到下一节课继续。
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