数学常用公式及规律、结论（二）

2024-06-05 07:06:23

xx+y=12⇒x=y

\frac x{x+y}=\frac12\Rightarrow x=y

limn→∞logn!nlogn=1

\lim_{n\to \infty}\frac{\log {n!}}{n\log n}=1

1. resolve collision：开地址法探测（probe）次数的期望的证明

n=keys,m=slots,n<mn=\text{keys}, m=\text{slots},\;n

14=2−15−1<25\frac14=\frac{2-1}{5-1}，n−im−i<nm\frac{n-i}{m-i}

E[#probes]=≤≤==1+nm(1+n−1m−1(1+n−2m−2(⋯(1+1m−n+1)⋯)))1+α(1+α(1+α(⋯(1+α)⋯)))1+α+α2+⋯∑i=0∞αi11−α

\begin{split} E\left [\#\text{probes}\right ]=&\:1+\frac nm(1+\frac{n-1}{m-1}(1+\frac{n-2}{m-2}(\cdots(1+\frac{1}{m-n+1})\cdots)))\\ \leq&\:1+\alpha(1+\alpha(1+\alpha(\cdots(1+\alpha)\cdots)))\\ \leq&\:1+\alpha+\alpha^2+\cdots\\ =&\sum_{i=0}^\infty \alpha^i\\ =&\frac1{1-\alpha} \end{split}

2. 进制的表示能力

nn 个二进制位的表示能力为：[0,2n−1][0,2^n-1]，共 2n2^n 个数；
nn 个三进制的表示能力为：[0,3n−1][0, 3^n-1]，共 3n3^n 个数；
nn 个 mm 进制的表示能力为：[0,mn−1][0, m^n-1]，共 mnm^n 个数；

3. 求模/求余运算

c=amodb⇒c∈[0,b−1]

c = a \mod b \quad ⇒ c \in [0, b-1]

也即余数不会超过除数，甚至都不会等于除数。

4. 乘法运算结果的位数

2 个两位数相乘（a2a^2）结果最大接近一个 4 位数，10 个两位数相乘（a10a^{10}）结果最大接近于一个 10*2 = 20 位的数。

同理一个 1024 bits（1024个二进制位）的大整数的乘方，其二次方的结果最大可能需要 1024×2=20481024\times 2=2048 个二进制位，其 1024 次方的结果最大可能需要 1024×1024=220=217Byte=128Kb1024\times 1024=2^{20}=2^{17}Byte=128Kb 的存储空间。

5. 公式的转化

x(1+x)2=11+x(1−11+x)

\frac x{(1+x)^2}=\frac1{1+x}(1-\frac1{1+x})

x21+x22−2x1x2x_1^2+x_2^2-2x_1x_2 一定非负；

x21+x22−2x1x2=(x1−x2)2≥0

x_1^2+x_2^2-2x_1x_2=(x_1-x_2)^2\geq 0

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