95 费解的开关（递推）

1. 问题描述：

你玩过"拉灯"游戏吗？25 盏灯排成一个 5×5 的方形。每一个灯都有一个开关，游戏者可以改变它的状态。每一步，游戏者可以改变某一个灯的状态。游戏者改变一个灯的状态会产生连锁反应：和这个灯上下左右相邻的灯也要相应地改变其状态。我们用数字 1 表示一盏开着的灯，用数字 0 表示关着的灯。下面这种状态
10111
01101
10111
10000
11011

在改变了最左上角的灯的状态后将变成：
01111
11101
10111
10000
11011

再改变它正中间的灯后状态将变成：
01111
11001
11001
10100
11011
给定一些游戏的初始状态，编写程序判断游戏者是否可能在 6 步以内使所有的灯都变亮。

输入格式

第一行输入正整数 n，代表数据中共有 n 个待解决的游戏初始状态。以下若干行数据分为 n 组，每组数据有 5 行，每行 5 个字符。每组数据描述了一个游戏的初始状态。各组数据间用一个空行分隔。

输出格式

一共输出 n 行数据，每行有一个小于等于 6 的整数，它表示对于输入数据中对应的游戏状态最少需要几步才能使所有灯变亮。对于某一个游戏初始状态，若 6 步以内无法使所有灯变亮，则输出 −1。

数据范围

0 < n ≤ 500

输入样例：

3
00111
01011
10001
11010
11100

11101
11101
11110
11111
11111

01111
11111
11111
11111
11111

输出样例：

3
2
-1
来源：https://www.acwing.com/problem/content/97/

2. 思路分析：

首先比较容易想到的是先做一遍预处理，从终止状态逆推6步看可以到达哪一些状态，相当于是一个打表的形式，因为是5 * 5的方阵所以最多有3.2 * 10 ^ 7个状态，而且每一次需要将得到的方阵转换为对应的状态，当我们输入对应状态的时候判断是否可以由终止状态转移过来，如果可以说明是合法的状态，但是这种做法时间复杂度比较难估计，这里其实有一个更保险的做法，当前位置灯的状态只取决于上下左右四个灯的摁的次数，所以我们可以尝试使用递推的方法来解决，从上往下开始递推，假设第一行的状态已经被确定了，也即不能够再修改第一行灯的状态了，通过对应的方阵可以发现后面每一行的状态都是确定的，我们可以从第一行开始枚举，一直到第四行，如果当前的位置为0说明需要摁下一行的灯的状态，这样当前灯的状态就改变了，如果是1说明不用改变，我们可以从第一行递推到第四行最终判断最后一行灯的状态，如果灯是全亮的并且答案更小那么更新答案。由于第一行的状态是不确定的，有5盏灯所以有2 ^ 5个状态，只需要枚举0~31即可，将对应位置为1的灯摁一下即可。时间复杂度为O(500 * 32 * 25 * 5) = 2000000.

3. 代码如下：

from typing import Listclass Solution:# 摁一下第x行y列的灯, 在摁的时候修改当前位置上下左右以及当前位置灯的状态, 将0变成1, 将1变成0可以使用异或操作来解决def turn(self, x: int, y: int, g: List[List[int]]):pos = [[-1, 0], [1, 0], [0, -1], [0, 1], [0, 0]]for i in range(5):a, b = x + pos[i][0], y + pos[i][1]if 0 <= a < 5 and 0 <= b < 5:g[a][b] ^= 1def process(self):T = int(input())while T:bg = list()# 将输入的字符串转换为int类型的二维列表数据for i in range(5):bg.append(list(map(int, list(input()))))res = 10# 枚举第一行所有可能的状态for i in range(32):g = list()count = 0# # 在尝试每一个状态的时候需要将g恢复到之前的状态, 这里使用一个备份的列表bg拷贝副本到g中for j in range(5):g.append(bg[j][:])# 修改当前第一行对应位置为1的灯的状态for k in range(5):if i >> k & 1:self.turn(0, k, g)count += 1# 第一行位置灯的状态已经确定了for j in range(4):for k in range(5):if g[j][k] == 0:# 摁下一行灯的状态self.turn(j + 1, k, g)count += 1success = 1# 枚举最后一行灯的状态判断是否有不亮的灯for j in range(5):if g[4][j] == 0: success = 0if success and res > count: res = count# 答案大于6无解if res > 6: res = -1print(res)T -= 1# 接受空行if T:input()if __name__ == "__main__":Solution().process()

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