【数论】—— 多边形数的计算（三角形数，五边形数）

1. 和式

1+3+5+⋯+(2n−1)=n21+3+5+⋯+(2n−1)=n21+3+5+\cdots+(2n-1) = n^2

2. 五边形数（pentagonal number）

五边形数的几何形式如下：

如何计算 P100P100P_{100}？

将各个图形中的点拆分成如下左右两个部分：

P1=0+1P1=0+1P_1=0+1
P2=1+(1+3)P2=1+(1+3)P_2=1+(1+3)
P3=(1+2)+(1+3+5)P3=(1+2)+(1+3+5)P_3=(1+2)+(1+3+5)
P4=(1+2+3)+(1+3+5+7)P4=(1+2+3)+(1+3+5+7)P_4=(1+2+3)+(1+3+5+7)
⋯⋯\cdots

所以有：

Pn====Pleft+Pright(1+2+3+⋯+n−1)+(1+3+5+⋯+2n−1)(n−1)(1+n−1)2+n2n(3n−1)2Pn=Pleft+Pright=(1+2+3+⋯+n−1)+(1+3+5+⋯+2n−1)=(n−1)(1+n−1)2+n2=n(3n−1)2

\begin{split} P_n=&P_{left}+P_{right}\\ =&\left(1+2+3+\cdots+n-1\right) + \left(1+3+5+\cdots+2n-1\right)\\ =&\frac{(n-1)(1+n-1)}{2}+n^2\\ =&\frac{n(3n-1)}2 \end{split}

判断一个数是不是五边形数：How do you determine if a number N is a Pentagonal Number?

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