拆散组合思路求解期望，方差

@(概率论)

对三台仪器进行检验，各台仪器产生故障的概率分别是p1,p2,p3p_1,p_2,p_3，求产生故障仪器的台数X的数学期望和方差。

分析：如果按照标准计算的方法，求出P(X = k)再根据EX=∑3k=0kP(X=k)EX = \sum_{k=0}^3kP(X=k)
求得的结果将是很难化简的。当然也不是不可解。

我们尝试一下：

P(X=0)=(1−p1)(1−p2)(1−p3)P(X=0) = (1-p_1)(1-p_2)(1-p_3)
P(X=1)=p1(1−p2)(1−p3)+(1−p1)p2(1−p3)+(1−p1)(1−p2)p3P(X=1) = p_1(1-p_2)(1-p_3)+ (1-p_1)p_2(1-p_3) + (1-p_1)(1-p_2)p_3
P(X=2)=p1p2(1−p3)+(1−p1)p2p3+p1(1−p2)p3P(X=2) = p_1p_2(1-p_3)+ (1-p_1)p_2p_3 + p_1(1-p_2)p_3
P(X=3)=p1p2p3P(X=3) = p_1p_2p_3

EX=(1−p1)(1−p2)(1−p3)+p1(1−p2)(1−p3)+(1−p1)p2(1−p3)+(1−p1)(1−p2)p3+p1p2(1−p3)+(1−p1)p2p3+p1(1−p2)p3+p1p2p3=p1+p2+p3

EX = (1-p_1)(1-p_2)(1-p_3)+p_1(1-p_2)(1-p_3) \\ +(1-p_1)p_2(1-p_3) \\ +(1-p_1)(1-p_2)p_3+p_1p_2(1-p_3) \\ +(1-p_1)p_2p_3 + p_1(1-p_2)p_3+p_1p_2p_3 \\ = p_1+p_2+p_3

再由DX=EX2−(EX)2=p1(1−p1)+p2(1−p2)+p3(1−p3)DX = EX^2-(EX)^2 = p_1(1-p_1)+p_2(1-p_2)+p_3(1-p_3)

可见计算非常大，且易出错。

如果换一种思路：拆分组合。很显然机器之间是不是出故障是独立的。

因此我们设XiX_i表示第ii台出故障的数目，则：

Xi={1,0,pi1−pi

X_i = \begin{cases} 1, & p_i \\ 0, & 1-p_i \end{cases}
于是可知:

EXi=pi,DXi=EX2i−(EXi)2=pi(1−pi)EX_i = p_i, DX_i = EX_i^2 - (EX_i)^2 = p_i(1-p_i)

EX=E(X1+X2+X3)=EX1+EX2+EX3=p1+p2+p3EX = E(X_1+X_2+X_3) = EX_1+EX_2+EX_3 = p_1+p_2+p_3

DX=D(X1+X2+X3)=DX1+DX2+DX3=p1(1−p1)+p2(1−p2)+p3(1−p3)DX = D(X_1+X_2+X_3) = DX_1+DX_2+DX_3 = p_1(1-p_1)+p_2(1-p_2)+p_3(1-p_3)

这样问题将简化了很多很多。

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