因子分析 factor analysis (六) ：用因子分析法进行综合评价

因子分析系列博文:

因子分析 factor analysis (一 )：模型的理论推导

因子分析 factor analysis (二 ) ：因子分析模型

因子分析 factor analysis (三) ：因子载荷矩阵的估计方法

因子分析 factor analysis (四) ：因子旋转（正交变换）

因子分析 factor analysis (五) ：因子得分

因子分析 factor analysis (六) ：用因子分析法进行综合评价

因子分析 factor analysis (七) ：因子分析法与主成分分析的异同

因子分析的步骤

1.对原始数据进行标准化处理

2．计算相关系数矩阵R

3．计算初等载荷矩阵

4．选择m （ m≤ p）个主因子，进行因子旋转

5.计算因子得分，并进行综合评价

6. 利用综合因子得分公式计算各样本的综合得分

二例题

一因子分析的步骤

1．选择分析的变量

用定性分析和定量分析的方法选择变量，因子分析的前提条件是观测变量间有较强的相关性，因为如果变量之间无相关性或相关性较小的话，他们不会有共享因子,所以原始变量间应该有较强的相关性。

2．计算所选原始变量的相关系数矩阵

相关系数矩阵描述了原始变量之间的相关关系。可以帮助判断原始变量之间是否存在相关关系，这对因子分析是非常重要的，因为如果所选变量之间无关系，做因子分析是不恰当的。并且相关系数矩阵是估计因子结构的基础。

3．提出公共因子

这一步要确定因子求解的方法和因子的个数。需要根据研究者的设计方案或有关的经验或知识事先确定。因子个数的确定可以根据因子方差的大小。只取方差大于1(或特征值大于1)的那些因子，因为方差小于1的因子其贡献可能很小；按照因子的累计方差贡献率来确定，一般认为要达到60％才能符合要求。

4．因子旋转

通过坐标变换使每个原始变量在尽可能少的因子之间有密切的关系，这样因子解的实际意义更容易解释,并为每个潜在因子赋予有实际意义的名字。

5．计算因子得分

求出各样本的因子得分，有了因子得分值，则可以在许多分析中使用这些因子，例如以因子的得分做聚类分析的变量，做回归分析中的回归因子。

1.对原始数据进行标准化处理

2．计算相关系数矩阵R

$R=\left ( r_{ij} \right )_{p\times p}$

3．计算初等载荷矩阵

4．选择m （ m≤ p）个主因子，进行因子旋转

根据初等载荷矩阵，计算各个公共因子的贡献率，并选择m 个主因子。对提取的因子载荷矩阵进行旋转，得到矩阵 $B=\hat{A}T$ (其中 $\hat{A}$ 为A的前m列，T为正交矩阵），构造因子模型

$\left\{\begin{matrix} \tilde{x_{1}}=b_{11}F_{1}+\cdots +b_{1m}F_{m} \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots\cdots \cdots\\ \tilde{x_{p}}=b_{p1}F_{1}+\cdots +b_{pm}F_{m} \end{matrix}\right.$

5.计算因子得分，并进行综合评价

我们用回归方法求单个因子得分函数 $\hat{F_{j}}=b_{j1}\tilde{x_{1}} +\cdots +b_{jp}\tilde{x_{p}} ,j=1,2,...,m$

记

$\begin{bmatrix}b_{11} &b_{12} & ... &b_{1p} \\ b_{21} & b_{22} & ... &b_{2p} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2}& ... & b_{mp} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_{1}\\ b_{2}\\ \vdots \\ b_{m} \end{bmatrix}$ ；则有 $\left [ b_{1}^{T} \: b_{2}^{T} ... \: b_{m}^{T}\right ] =R^{-1}A$

6. 利用综合因子得分公式计算各样本的综合得分

二例题

已知部分上市公司的数据见下表，试用因子分析法对上述企业进行综合评价。

解按上述步骤计算得旋转后的因子贡献及贡献率见表13、因子载荷阵见表14。

我们通过相关分析，在显著水平为0.05的情况下，得出赢利能力F 与资产负债率 x 之间的相关系数为-0.6987，这表明两者存在中度相关关系。因子分析法的回归方程为：F = 0.829-0.0268X

回归方程在显著性水平0.05的情况下，通过了假设检验。

计算的MATLAB程序如下：

clc,clear
load data.txt   %把原始数据保存在纯文本文件data.txt中
data=reshape(data,[16,5]);m=size(data,1);
x=data(:,5);data=data(:,1:4),num=2;
data=zscore(data); %数据标准化
r=cov(data);
[vec,val,con]=pcacov(r);  %进行主成分分析的相关计算
val,con
f1=repmat(sign(sum(vec)),size(vec,1),1);
vec=vec.*f1;     %特征向量正负号转换
f2=repmat(sqrt(val)',size(vec,1),1);
a=vec.*f2   %载荷矩阵
%如果指标变量多，选取的主因子个数少，可以直接使用factoran进行因子分析
%本题中4个指标变量，选取2个主因子，factoran无法实现
[b,t]=rotatefactors(a(:,1:num),'method', 'varimax')  %旋转变换
bz=[b,a(:,num+1:end)]   %旋转后的载荷矩阵
gx=sum(bz.^2)             %计算因子贡献
gxv=gx/sum(gx)            %计算因子贡献率
dfxsh=inv(r)*b            %计算得分函数的系数
df=data*dfxsh           %计算各个因子的得分
zdf=df*gxv(1:num)'/sum(gxv(1:num))        %对各因子的得分进行加权求和
[szdf,ind]=sort(zdf,'descend')      %对企业进行排名
xianshi=[df(ind,:)';zdf(ind)';ind'] %显示计算结果
[x_zdf_coef,p]=corrcoef([zdf,x])    %计算相关系数
[d1,d1int,d2,d2int,stats]=regress(zdf,[ones(m,1),x]) %回归分析计算

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