(Network Analysis)graph centrality measures

Which vertices are important?
（是Youtube上的课程，这儿做笔记学习）

Graph-theoretic measures:

（每个node旁的数字，即这个node的eccentricity，因此diameter就是max（eccentricity），radius就是min（eccentricity），central point是拥有最小的eccentricity的node，图中标红的node）

Graph center is a set of vertices with graph eccentricity equal to the graph radius(即center point的集合）

Graph periphery is a set of vertices that have graph eccentricities equal to the graph diameter
（一般理解就是：is those nodes that are far away from the center of the graph）

但以上的这些度量在实际操作中都很难测量，一是因为计算量，二是因为（也是最主要的原因）它们对微小的改变都很敏感。

centrality一般指无向图，
prestige一般指有向图。
但是现在一般都混用了。

Degree centrality

当需要比较不同图之间的degree centrality时，需要normalization。
（当没有标准化时，直接告诉你某个node的的degree centrality是956时没有任何意义，而标准化之后告诉你degree centrality是0.97，那么就很明显的知道，这个node的中心度非常高）
Closeness centrality

（但是注意，Closeness centrality只适合计算“connected component”，因为若有一个node是孤立的话，d(i,j)就会无限大，从而会破坏整个公式）
而注意，Harmonic centrality可以避免两个节点举例无限大的情况，因为距离无穷大的话，也只会导致一项为0，对总centrality没有贡献度而已。因此，实际操作中，这个更常用。
Betweenness centrality
Eigenvector centrality

（之前的degree centrality只考虑了邻居有多少，而没有考虑邻居是谁，而eigenvector centrality就考虑了邻居是谁的问题）
核心就是：the node is important if node’s neighbors are important
（还要注意的是，pagerank是指的有向图，而这儿是无向图）

Katz centrality

（附：
1、注意A代表邻接矩阵，A^2代表从i-j最短路径是2的条数，A^3则代表i-j最短路径是3的条数，后推同理
2、第二行中的vetor e是一个unit vector，其作用就相当于第一行的求和
3、第三行是由于泰勒展开式：
1/(1-k)~=1+k+k^2+……
4、beta将决定最后的k值，当beta=1时，结果将是标准的eigenvector centrality
）
其实，Katz centrality、eigenvector centrality、pagerank的思想都差不多，只不过这儿Katz还可以算邻居的邻居，只是距离越大，衰减因数就越大（贡献越小）
Bonacich Centrality
（核心思想：之前的模型都只考虑了“正影响”（positive influence），而没有考虑negative influence）

当alpha=1，beta=0时，就是标准的eigenvector centrality
当alpha=0，beta>0时，就是Katz centrality

Centrality example

By Tapiocozzo - Own work, CC BY-SA 4.0, Link

A) Betweenness centrality, B) Closeness centrality,
C) Eigenvector centrality, D) Degree centrality,
E) Harmonic Centrality and F) Katz centrality

但这些图都只是简单的例子，实际的图一般来说会是power-law分布的（可以通过做log-log图去验证）

centralization
prestige
Metrics comparison

可以用这些相关系数来衡量上述那么多centrality衡量metric之间的关系
Ranking comparison

concordant & discordant:
分析A：
rank1:A后面是B，rank2也是A后面出现B，于是concordant=1，
rank1：A->C，但rank2中，C出现在A之前，于是discordant=1，
rank1：A->D，rank2：D->A，于是discordant=2，
…..其余分析同理

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