最短路径算法，Dijkstra算法，floyd算法 07-图4 哈利·波特的考试 (25 分)

07-图4 哈利·波特的考试 (25 分)
哈利·波特要考试了，他需要你的帮助。这门课学的是用魔咒将一种动物变成另一种动物的本事。例如将猫变成老鼠的魔咒是haha，将老鼠变成鱼的魔咒是hehe等等。反方向变化的魔咒就是简单地将原来的魔咒倒过来念，例如ahah可以将老鼠变成猫。另外，如果想把猫变成鱼，可以通过念一个直接魔咒lalala，也可以将猫变老鼠、老鼠变鱼的魔咒连起来念：hahahehe。

现在哈利·波特的手里有一本教材，里面列出了所有的变形魔咒和能变的动物。老师允许他自己带一只动物去考场，要考察他把这只动物变成任意一只指定动物的本事。于是他来问你：带什么动物去可以让最难变的那种动物（即该动物变为哈利·波特自己带去的动物所需要的魔咒最长）需要的魔咒最短？例如：如果只有猫、鼠、鱼，则显然哈利·波特应该带鼠去，因为鼠变成另外两种动物都只需要念4个字符；而如果带猫去，则至少需要念6个字符才能把猫变成鱼；同理，带鱼去也不是最好的选择。

输入格式:
输入说明：输入第1行给出两个正整数N (≤100)和M，其中N是考试涉及的动物总数，M是用于直接变形的魔咒条数。为简单起见，我们将动物按1~N编号。随后M行，每行给出了3个正整数，分别是两种动物的编号、以及它们之间变形需要的魔咒的长度(≤100)，数字之间用空格分隔。

输出格式:
输出哈利·波特应该带去考场的动物的编号、以及最长的变形魔咒的长度，中间以空格分隔。如果只带1只动物是不可能完成所有变形要求的，则输出0。如果有若干只动物都可以备选，则输出编号最小的那只。

输入样例:
6 11
3 4 70
1 2 1
5 4 50
2 6 50
5 6 60
1 3 70
4 6 60
3 6 80
5 1 100
2 4 60
5 2 80
结尾无空行

首先建立邻接矩阵，代码如下：

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
const int INF = 32767;
const int MaxSize = 501;
typedef int ElemType;
//结点信息
typedef struct {int no;//顶点编号ElemType data;//其他信息
}VertexType;
typedef struct {int edges[MaxSize][MaxSize];int n, e;VertexType vexs[MaxSize];
}MatGraph;//邻接矩阵表达形式

这题显然是一道最短路径问题，
首先最短路径算法有两种
单源最短路径算法为Dijkstra算法

代码如下：

//Dijkstra算法描述，单源最短路径算法
void Dijkstra(MatGraph g, int v)
{int distanc[MaxSize], path[MaxSize];//分别记录v到各点的最短距离以及对应路径int S[MaxSize];//记录顶点是否被处理过，即是否已经用来更新最短路径s[i]=1则表示已经更新//把距离和路径初始化，与v邻接的点距离赋值为该条边的长度，不邻接的赋值为无穷//邻接点的路径path[i]=v,因为他的下一个顶点就是v，暂时的最短路径就是直接到v//非邻接点的路径path[i]=-1,表示没有返回的最短路径的相应点。for (int i = 0;i < g.n;++i){distanc[i] = g.edges[v][i];S[i] = 0;//表示暂时还没有顶点被处理过，不在S里面if (g.edges[v][i] < INF)path[i] = v;elsepath[i] = -1;}S[v] = 1;path[v] = 0;//这里path[v]=0是否不需要？，S[v]=1表示v在S里面了，v已经处理了int temp;//循环直到把所以点放入S中，得到最终最短路径for (int i = 0;i < g.n - 1;++i){int MINdis = INF;//把最短距离初始化为最大for (int j = 0;j < g.n;++j)//找出不在S中且距离v最近的顶点uif (S[j] == 0 && distanc[j] < MINdis){temp = j;MINdis = distanc[j];//这样不停置换就可以得到最小的distanc对应的temp}S[temp] = 1;//然后堆temp的邻接点进行操作，更新最短路径for(int j=0;j<g.n;++j)if (S[j] == 0)//表示没有被处理过的，可以用来更新的j点if (g.edges[temp][j] < INF && distanc[temp] + g.edges[temp][j] < distanc[j]){distanc[j] = distanc[temp] + g.edges[temp][j];path[j] = temp;//这里找到temp的邻接点，然后判断是否存在更短的路径，可以的话进行调换    }}//到这里所以点已经访问完毕，可以进行输出Dispath(g, distanc, path, S, v);
}
//最短路径输出函数
void Dispath(MatGraph g, int distanc[], int path[], int S[], int v)
{//输出从顶点v出发的所有最短路径int k,d,path1[MaxSize];for(int i=0;i<g.n;i++)if (S[i] == 1 && i != v){cout << "从顶点" << v << "到顶点" << i << "的最短路径为：" << distanc[i] << endl;d = 0;path1[d] = i;//把路径上最后一个点放在第一位，然后逆序输出；k = path[i];if (k == -1)cout << "无路径" << endl;//表示i点和v直接没有路径else{while (k != v)//在path中找到路径，并且将其放到path1中{++d;path1[d] = k;k = path[k];}++d;path1[d] = v;//把起始结点放到最后一位for (int j = d;j >= 0;--j)cout << path[j] << " ";//把路径结点倒序输出cout << endl;}}
}

多源最短路径算法如下：

代码如下：

//Floyd算法，多源最短路径算法,把每对顶点之间的最短路径算出来
void Floyd(MatGraph g)
{int distanc1[MaxSize][MaxSize], path[MaxSize][MaxSize];//首先初始化路径和距离for(int i=0;i<g.n;++i)for (int j = 0;j < g.n;++j){distanc1[i][j] = g.edges[i][j];if (i != j && g.edges[i][j] < INF)path[i][j] = i;elsepath[i][j] = -1;}//然后依次考察所以顶点for(int k=0;k<g.n;++k)for(int i=0;i<g.n;++i)for(int j=0;j<g.n;++j)if (distanc1[i][j] > distanc1[i][k] + distanc1[k][j]){distanc1[i][j] = distanc1[i][k] + distanc1[k][j];path[i][j] = path[k][j];//即在i，j之间插入了一个k，构成了另一条更短的最短路径，所以j的前一个元素变成k}Dispath1(g, distanc1, path);
}
//Floyd算法的输出
void Dispath1(MatGraph g, int distanc1[][MaxSize], int path[][MaxSize])
{int k,path1[MaxSize],d;//path1可以定义在外部，不需要每次循环之后更新//因为每一次循环输出时，会用到的path1[d]的值都会重新赋值，没有重新赋值的也不会用到//上面那个Dijkstra算法也是一样for(int i=0;i<g.n;++i)for (int j = 0;j < g.n;++j){if (distanc1[i][j] != INF && i != j)//若i与j之间存在路径{cout << "从" << i << "到" << j << "的路径为：";k = path[i][j];d = 0;path1[d] = j;//把终点放在路径数组首位，然后逆序输出while (d != -1 && k != i)//还有路径可走并且没有到达终点i{d++;path1[d] = k;k = path[i][k];}d++;path1[d] = i;for (int s = d;s >= 0;--s)cout << path1[s] << " ";cout << endl;cout << "路径长度为：" << distanc1[i][j] << endl;}}
}

改题目其实是floyd算法的一个变形，比较简单，但是要注意堆栈溢出，还有就是只输出一个动物，记得break；代码如下：

#include<iostream>
using namespace std;
const int INF = 65535;//这个数是int的最大值
const int MaxSize = 100;
int distanc1[MaxSize][MaxSize];
int path[MaxSize][MaxSize];//这些都应该定义在全局里面，才不会溢出
typedef int ElemType;
//结点信息
typedef struct {int no;//顶点编号ElemType data;//其他信息
}VertexType;
typedef struct {int edges[MaxSize][MaxSize];int n, e;VertexType vexs[MaxSize];
}MatGraph;//邻接矩阵表达形式
MatGraph g;//应该定义在全局，这样才不会堆栈溢出
//Floyd算法，多源最短路径算法,
void Dispath1()//这里不应该把path，distance1，还有g等参数放进去，因为放进去之后在主函数里面
//调用时还是会占有主函数堆栈的空间，到时候数据一大又会堆栈溢出
{int ans[MaxSize] = { 0 };for (int i = 0;i < g.n;++i)for (int j = 0;j < g.n;++j){if (ans[i] <= distanc1[i][j]){ans[i] = distanc1[i][j];}}int Min = INF;for (int i = 0;i < g.n;++i){if (Min > ans[i]){Min = ans[i];}}if (Min == INF)cout << "0" << endl;else{for (int j = 0;j < g.n;++j){if (ans[j] == Min){cout << j + 1 << " " << ans[j] << endl;break;//这一步忘记了的话后面两个测试点过不去}}}
}
void Floyd()//这里也是一样，不能有占空间较大的参数
{//首先初始化路径和距离for(int i=0;i<g.n;++i)for (int j = 0;j < g.n;++j){distanc1[i][j] = g.edges[i][j];if (i != j && g.edges[i][j] < INF)path[i][j] = i;elsepath[i][j] = -1;}//然后依次考察所以顶点for(int k=0;k<g.n;++k)for(int i=0;i<g.n;++i)for(int j=0;j<g.n;++j)if (distanc1[i][j] > distanc1[i][k] + distanc1[k][j]){distanc1[i][j] = distanc1[i][k] + distanc1[k][j];path[i][j] = path[k][j];//即在i，j之间插入了一个k，构成了另一条更短的最短路径，所以j的前一个元素变成k}Dispath1();
}
int main()
{int N, M;cin >> N >> M;g.n = N;g.e = M;for(int i=0;i<MaxSize;++i)for (int j = 0;j < MaxSize;++j){if (i == j)g.edges[i][j] = 0;elseg.edges[i][j] = INF;}int animal1, animal2, magic;for (int i = 0;i < M;++i){cin >> animal1 >> animal2 >> magic;g.edges[animal1-1][animal2-1] = magic;g.edges[animal2-1][animal1-1] = magic;}Floyd();
}

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