变上限积分求导的原理

这道题也有一种典型的错误解法，就是把x往t里面一代，求出来是f(0).然而这种方法一看就是错误的，因为f(0)是一个常数，如果这样是正确的，那么F就变成是一次函数了，而事实上我们这里的f是什么都不知道，怎么可能就把F的类型都判断出来了呢？

那么有人就会疑惑了，为什么这个函数不能直接套用变上限函数的求导公式来做呢？其实我们用导数的定义来分析一下就清楚了。

首先我们证明一下变上限函数的求导公式：

接下来我们来对比一下当f中同时含有x和t时会有什么不同：

（吐槽一下这个该死的M，要不是想到了定积分的定义我就要被它搞死了）

所以，为什么这个函数求导就不能直接把t换成x，想必就已经一目了然了，这是因为当f当中既有t又有x时，从导数的定义式看，f里面的x也要变成x+∆x，这就导致F(x+∆x)和F(x)这两个积分无法使用线性运算法则合成为一个积分。所以这时候盲目把t换成x就不对了。

那么我们知道，对于这种变上限积分函数求导，我们通常是用换元法把f里面弄得干净一点再动手：

这时候我们就是把原来的x-t当成了一个整体来考虑，所以就不需要再考虑之前那样两个积分能不能作线性运算的问题了。

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