传送门

题解：

模拟赛考场花了半个小时推出来了，纯数学题。。。。

实际上不是那么难想，只要注意细节。

首先考虑给Bob，问Alice的情况。

已知Bob，询问Alice

先给一个结论，Bob的结果就是Alice的期望。

假设我们并不知道上面那个结论，来推一下Bob在飞了一个2l2^l2l的情况下经过的塔的个数（算尾不算头）。

在这种情况下需要认为左端点高度是已经确定了的。

设P(i)P(i)P(i)表示一个塔的高度不超过iii的概率，则P(i)=12+122+⋯+12i=1−12iP(i)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots +\frac{1}{2^i}=1-\frac{1}{2^i}P(i)=21+221+⋯+2i1=1−2i1

这时候要求右边的塔的高度超过lll，概率为1−P(l)1-P(l)1−P(l)，中间所有塔的高度都不超过lll，概率为P(l)iP(l)^iP(l)i，其中iii是中间塔的个数。

得到期望的表达式为E(l)=(1−P(l))∑i=1∞i⋅P(l)i−1E(l)=(1-P(l))\sum_{i=1}^{\infty}i\cdot P(l)^{i-1}E(l)=(1−P(l))i=1∑∞i⋅P(l)i−1

化简得到E(l)=2lE(l)=2^lE(l)=2l。所以Bob的结果就是Alice的期望。

已知Alice，询问Bob

考虑一点一点增加hhh，显然新的滑索只会覆盖上一层的滑索，我们计算新增的概率和数量的期望以及覆盖上一层滑索的期望数量即可。

初始状态h=0h=0h=0，这时候答案为nnn

显然对于这一层每一个滑索的出现情况互不影响可以分别计算。

假设出现了一个高度为hhh，长度为lll的滑索，则它可能的开头只有n−ln-ln−l个。

两边高度必须大于hhh，概率为122h\frac{1}{2^{2h}}22h1，中间所有的必须小于等于hhh，概率为(1−12h)l−1(1-\frac{1}{2^h})^{l-1}(1−2h1)l−1

那么这个滑索的期望贡献就是它出现的贡献乘上出现概率。

还要减掉上一层被覆盖的滑索的贡献。

也就是要算期望覆盖了多少个上一层的滑索。

也就是中间期望有多少个塔高度为hhh，然后+1就是滑索的数量。

一个塔的高度为hhh的概率在这种情况是一个条件概率，为12h12+122+⋯12h=12h−1\frac{\frac{1}{2^h}}{\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots \frac{1}{2^h}}=\frac{1}{2^h-1}21+221+⋯2h12h1=2h−11

那么期望有l−12h−1\frac{l-1}{2^h-1}2h−1l−1座塔高度为hhh，可以直接算了。

具体式子直接看代码吧。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define re register
#define cs constusing std::cerr;
using std::cout;
typedef long double ld;inline ld power(ld a,int b,ld res=1){for(;b;b>>=1,a=a*a)(b&1)&&(res=res*a);return res;
}int n,h;
double pw[100];
signed main(){#ifdef zxyoifreopen("counting.in","r",stdin);
#else
#ifndef ONLINE_JUDGEfreopen("counting.in","r",stdin);freopen("counting.out","w",stdout);
#endif
#endifstd::string name;std::cin>>name>>n>>h;if(name=="Bob")cout<<n<<".000000000";//结论相当SB。。。 //本质就是考虑 Bob 每走一个 2^l 经过的长度（算尾不算头）的期望就是 2^l else {//注意到Bob走的高度一定是先增加再减少。 //考虑增加高度上限从1增加到h的时候，新一层的贡献，同时减掉原来覆盖了的贡献。//显然覆盖了的贡献只可能是上一层的，这一层覆盖一定覆盖了中间一段，枚举这个长度，算一下这中间有期望多少个上一段。 pw[0]=1;ld ans=n;for(int re i=1;i<=2*h;++i)pw[i]=pw[i-1]*2;for(int re i=1;i<=h;++i)for(int re j=1;j<=n;++j){ans+=(n-j)/pw[i<<1]*power(1-1/pw[i],j-1)*(pw[i]-pw[i-1]*(1+(j-1)/(pw[i]-1)));}printf("%.9f\n",(double)ans);} return 0;
}

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