平面和直线是三维计算机视觉和计算机图形学中有用的几何实体。将它们表示为一组点是低效的，这会导致很大的内存需求，具体取决于用于生成点的步长。

在本文中，我将讨论如何使用向量方程表示平面和直线。我还将介绍如何使用向量形式找到直线和平面之间的交点。

三维线条

我们可以用下面的等式[1]表示向量形式的直线。

p = l₀ + l * ** d,** d ∈ R

其中，I是一个向量，表示直线方向，l₀是直线上的一个点，d是标量。

p是直线上的通用点，这些点定义了线。因此，为了定义直线，我们只需要知道6个数字/参数，就可以用向量形式完整地表示它。

我创建了一个类来表示线向量并绘制它。它由一个vector和一个point_on_line参数化，它们都是3x1 numpy列向量。

要在直线上获得点，我们可以使用该方程。通过缩放vector改变d。

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as npclass Line:def __init__(self, vector, point_on_line) -> None:self.vector = np.array(vector).reshape(3, 1)self.point_on_line = np.array(point_on_line).reshape(3, 1)def plot(self, step_size=0.1):points = np.zeros((3, 0))for i in np.arange(-10, 10, step_size):points = np.concatenate((points, self.point_on_line + i * self.vector), axis=1)fig = plt.figure()ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')ax.scatter(points[0, :].ravel(),points[1, :].ravel(),points[2, :].ravel(),s=1)ax.scatter(*self.point_on_line, "r")plt.show()

我将展示一些样本行。

向量（1,1,1）点（0,0,0）;

如果你想要一条横跨二维平面的线，那么你可以使用一个在两个坐标中只有非零值的向量，你将在二维平面中得到一条线。

向量（1,1,0）点（0,0,0）:

三维平面

我们可以用下面的等式表示向量形式的平面。

(p — p₀) *  n = 0，其中n是平面的法向（垂直）向量，p₀是平面上的点。

上述方程式中所有点p的轨迹定义了该平面。(p — **p₀)**表示平面中的向量，n表示平面的正交向量或法向量。因此，对于平面上所有点p的这些向量，相互正交的这两个向量的点积将为零。

用六个数字来表达一个平面十分优雅！

下面是Python中使用上述定义的平面类。

class Plane:def __init__(self, normal_vector, point_on_plane) -> None:self.normal_vector = np.array(normal_vector).reshape(3, 1)self.point_on_plane = np.array(point_on_plane).reshape(3, 1)

在本文中，你可以表示平面的方法：https://medium.com/@daniel.j.lenton/part-iii-projective-geometry-in-3d-37f36746733b

接下来，让我们看看如何找到直线和平面的交点。

3D中点与平面的交点

现在我们知道了如何在3D中表示点和平面，我们可以看看如何找到这两个几何图形之间的交点。

如果一条直线和某个平面在点p相交，它将同时满足直线和平面方程。因此，为了找到交点，将p的值从直线方程代入平面方程。

(( **l₀ + l * ** d) — p₀) * n = 0

展开这些项可以得到以下等式。

(l *  n) d + (l₀ — p₀) *  n = 0

求解d得到：

d = (p₀ — l₀) *  n / (l *  n)

这返回给我们一个点，该点位于直线和平面上。

有三种情况。

1. 首先是直线和平面平行，但直线不在平面内。

2. 接下来是，正好有一个交点。

3. 最后，直线平行于平面并在平面中，在这种情况下，直线中的每个点也将位于平面上。因此，在这种情况下，将有无限多个点同时满足这两个方程。

对于前两个案例，l *  n = 0，因为对于它们，I垂直于法向量n。否则，我们将得到一个实数d，它可以在直线方程中替换回来，以得到交点：

p = l₀ + l * d

我已经为平面和直线类编写了一个基于上述方程计算交点的函数。请注意，函数是相同的等式，唯一不同的是代码语法。

class Line:def __init__(self, vector, point_on_line) -> None:self.vector = np.array(vector).reshape(3, 1)self.point_on_line = np.array(point_on_line).reshape(3, 1)def intersect(self, plane):if plane.normal_vector.ravel().dot(self.vector.ravel()) != 0:d = (plane.point_on_plane - self.point_on_line).ravel().dot(plane.normal_vector.ravel()) / plane.normal_vector.ravel().dot(self.vector.ravel())return self.point_on_line + (d * self.vector)return None

class Plane:def __init__(self, normal_vector, point_on_plane) -> None:self.normal_vector = np.array(normal_vector).reshape(3, 1)self.point_on_plane = np.array(point_on_plane).reshape(3, 1)def intersect(self, line: Line):if self.normal_vector.ravel().dot(line.vector.ravel()) != 0:d = (self.point_on_plane - line.point_on_line).ravel().dot(self.normal_vector.ravel()) / self.normal_vector.ravel().dot(line.vector.ravel())return line.point_on_line + (d * line.vector)return None

现在，我们可以使用plane和line类来查找它们之间的交点。

例如：

l1 = Line((1, 1, 0), (0, 0, 0))
p1 = Plane((1, 1, 1), (5, 5, 5))
print(p1.intersect(l1))
# Output
#[[7.5]
# [7.5]
# [0. ]]

我们可以使用Symphy验证结果：

from sympy.geometry import Line, Segment
from sympy import Point, Eq
l1 = Line(Point(0,0,0), Point(1,1,0))
from sympy import Plane, Point3D
p1 = Plane((5,5,5), normal_vector=(1,1,1))
print(p1.intersection(l1))

我们也使用Symphy实现来验证我们的代码。

结论

在本文中，我们研究了3D中的线和平面。我们看到了它们的向量方程，以及如何用一个向量和一个点来表示它们。

这是一个非常紧凑的表示，只有六个数字。我们最终了解了如何找到两者之间的交叉点，并查看了三种可能的交叉点情况。

参考文献

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Line%E2%80%93plane_intersection

☆ END ☆

如果看到这里，说明你喜欢这篇文章，请转发、点赞。微信搜索「uncle_pn」，欢迎添加小编微信「 woshicver」，每日朋友圈更新一篇高质量博文。

↓扫描二维码添加小编↓