向量代数：混合积、双重外积与拉格朗日恒等式

2024-04-30 02:49:16

一. 混合积

定义：向量a与b的外积仍是一个向量，因而它还可以与另一个向量c做内积：(a×b)·c = |a×b||c|cosθ = |a×b|h。它成为a, b,c的混合积，记作(a, b, c) = (a×b)·c。如上图所示。

几何意义：因|a×b|等于以a,b为邻边的平行四边形面积，故|(a, b, c)|等于以a, b, c为邻边的平行六面体的体积。

性质：

(a, b, c) = (b,c, a) = (c, a,b) = -(b, a, c) = -(c,b, a) = -(a, c,b)；
(λa1 + μa2, b, c) = λ(a1,b, c) + μ(a2, b,c)，对任意实数λ, μ成立；
若{e1, e2, e3}是互相正交的组成右手系的单位向量，则(e1,e2, e3) = 1；
a, b, c共面的充要条件是：(a,b, c) = 0。

应用混合积求解不同坐标系间的坐标转换问题：

设a, b, c为三个不共面的向量。求任意向量d关于a,b, c的分解式d = xa + yb +zc。

解：根据向量加法的性质，d可以表示成上式。两边与b, c取混合积，得

(d, b, c) = (xa+yb+zc,b, c)

=((xa+yb+zc)×b)·c

=(xa×b+yb×b+zc×b)·c

=(xa×b+zc×b)·c （根据外积的性质，b×b = 0）

=(xa×b)·c + (zc×b)·c

=x(a, b, c) （根据外积性质，c×b与c正交，据内积性质，(c×b)·c = 0）

因为(a, b, c)不共面，所以(a,b, c) ≠ 0，于是解得 x = (d, b, c)/(a, b, c)，同理可得 y = (a, d, c)/(a,b, c)，z = (a, b,d)/(a, b, c)。这其实就是解线性代数方程组的克莱姆法则。

二. 双重外积公式与拉格朗日恒等式

双重外积公式：(a×b)×c = b(a·c) -a(b·c).

拉格朗日恒等式：(a×b)·(c×d) = (a·c)(b·d) - (a·d)(b·c).

证拉格朗日恒等式：

(a×b)·(c×d) = (c,d, a×b) （根据混合积定义：(a,b, c) = (a×b)·c）

= (a×b,c, d) (根据混合积性质: (a, b, c) = (b, c, a) = (c, a, b))

= ((a×b)×c)·d

= (b(a·c) -a(b·c))·d

= (a·c)(b·d) - (a·d)(b·c).

三.参考

[1] 苏步青. 空间解析几何. 上海：上海科技出版社，1984

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