朋友问题： 有微分方程如下：

m d 2 y d t 2 + d y d t e x p ( t ) − y 2 = 5 m \frac{d^2y}{dt^2} + \frac{dy}{dt} exp(t) - y^2 = 5mdt2d2y​+dtdy​exp(t)−y2=5

其中，y ( t = 0 ) = 1 y(t=0)=1y(t=0)=1，d y / d t ( t = 0 ) = − 10 dy/dt (t=0) = -10dy/dt(t=0)=−10。

请在区间[ 0 , 5 ] [0, 5][0,5]内绘制两个子图，分别为d y / d t dy/dtdy/dt与y yy，每个子图涵盖m = 1 m=1m=1与m = 2 m=2m=2两种情况。

所以本题的核心问题在于：用数值计算的方法求解该方程，得到各点，绘制点图。

使用 matlab 自带的 ode45 ，方程组用句柄表示。

ode45 参见教程：如何使用ODE45

首先把题目方程转换，转换为 ode45 能理解的方式。

先声明变量：

y 1 = y y 2 = y ′ \begin{aligned} y_1 & = y \\ y_2 & = y' \\ \end{aligned}y1​y2​​=y=y′​

于是整理方程：

y 1 ′ = y 2 y 2 ′ = 1 m ( 5 − y 1 ′ e y 1 + y 1 2 ) \begin{aligned} y_1' & = y_2 \\ y_2' & = \frac{1}{m} (5 - y_1' e^{y_1} + y_1^2) \end{aligned}y1′​y2′​​=y2​=m1​(5−y1′​ey1​+y12​)​

于是我们知道，ode45中要有2个变量，且将其右边的式子分别表示出来，即：

dy = @(t, y)[y(2); (5 - y(2)*exp(y(1)) + y(1)^2)/m];

其中：

y(2)代表 y 1 ′ = y 2 y_1' = y_2y1′​=y2​；

(5 - y(1)*exp(y(2)) + y(2)^2)/m代表 y 2 ′ = 1 m ( 5 − y 1 ′ e y 1 + y 1 2 ) y_2' = \frac{1}{m} (5 - y_1' e^{y_1} + y_1^2)y2′​=m1​(5−y1′​ey1​+y12​)。

接着，规定初值：y ( t = 0 ) = 1 y(t=0)=1y(t=0)=1，d y / d t ( t = 0 ) = − 10 dy/dt (t=0) = -10dy/dt(t=0)=−10。

y10 = 1;

y20 = -10;

规定自变量 t tt 范围：

tspan = [0, 5];

输入 ode45 则为：

[t, y] = ode45(dy, tspan, [y10, y20]);

整个题目的代码为：

% 表示该方程组

m = 1;

dy = @(t, y)[y(2); (5 - y(2)*exp(y(1)) + y(1)^2)/m];

y10 = 1;

y20 = -10;

tspan = [0, 5];

% m = 1

[t_m_1, y_m_1] = ode45(dy, tspan, [y10, y20]);

% m = 2

m = 2;

dy = @(t, y)[y(2); (5 - y(2)*exp(y(1)) + y(1)^2)/m];

[t_m_2, y_m_2] = ode45(dy, tspan, [y10, y20]);

% plot

subplot(1, 2, 1);

plot(t_m_1, y_m_1(:, 2));

hold on

plot(t_m_2, y_m_2(:, 2));

title('dy/dt')

legend('m=1','m=2')

subplot(1, 2, 2);

plot(t_m_1, y_m_1(:, 1));

hold on

plot(t_m_2, y_m_2(:, 1));

title('y')

legend('m=1','m=2')

顺便学了 ode45 ，不错。