文章目录

一、组合恒等式 ( 积之和 ) 1
二、组合恒等式 ( 积之和 ) 1 证明
三、组合恒等式 ( 积之和 ) 2
四、组合恒等式 ( 积之和 ) 2 证明

组合恒等式参考博客 :

【组合数学】组合恒等式 ( 递推组合恒等式 | 变下项求和组合恒等式简单和 | 变下项求和组合恒等式交错和 )
【组合数学】组合恒等式 ( 变下项求和 3 组合恒等式 | 变下项求和 4 组合恒等式 | 二项式定理 + 求导证明组合恒等式 | 使用已知组合恒等式证明组合恒等式 )
【组合数学】组合恒等式 ( 八个组合恒等式回顾 | 组合恒等式积 1 | 证明 | 使用场景 )

一、组合恒等式 ( 积之和 ) 1

组合恒等式 ( 积之和 ) 1 :

∑k=0r(mk)(nr−k)=(m+nr),r=min⁡{m,n}\sum\limits_{k=0}^{r}\dbinom{m}{k}\dbinom{n}{r-k} = \dbinom{m + n }{r} , \ \ \ \ \ \ r= \min \{ m, n \}k=0∑r(km)(r−kn)=(rm+n), r=min{m,n}

二、组合恒等式 ( 积之和 ) 1 证明

1 . 组合分析方法使用 : 使用组合分析方法证明组合数时 , 先指定集合 , 指定元素 , 指定两个计数问题 , 公式两边是对同一个问题的计数 ;

( 1 ) 指定集合 : 指定计数是在什么样的集合中产生的 ;

( 2 ) 指定计数问题 : 下面两个计数问题都是同一个问题的计数 ;

① 问题 1 : 等号左侧代表的计数问题 ;
② 问题 2 : 等号右侧代表的计数问题 ;

( 3 ) 等价说明 : 说明两个计数问题是同一个问题 ;

2 . 使用组合分析的方法进行证明 :

( 1 ) 指定集合 : 定义两个集合 ,

A={a1,a2,⋯,am}A = \{ a_1, a_2 , \cdots , a_m \}A={a1,a2,⋯,am}

B={b1,b2,⋯,bn}B = \{ b_1, b_2 , \cdots , b_n \}B={b1,b2,⋯,bn}

( 2 ) 指定等号右边的计数 :

(m+nr)\dbinom{m + n }{r}(rm+n) 代表如下计数 :

从这两个集合的 m+nm + nm+n 个元素中 , 选取 rrr 个元素 , 这样就构造了一个选取问题 ;

( 3 ) 指定等号左边的计数 :

等号左边的组合数 ∑k=0r(mk)(nr−k)\sum\limits_{k=0}^{r}\dbinom{m}{k}\dbinom{n}{r-k}k=0∑r(km)(r−kn) 计数分析 :

先分类后分步 : 上述式子中 , 有乘积 , 有求和 , 说明这是先分类 ( 加法法则 ) , 每个分类中使用分步 ( 乘法法则 ) 计算 ;

按照从两个集合中选出的 rrr 个子集中 , 含有多少个 A={a1,a2,⋯,am}A = \{ a_1, a_2 , \cdots , a_m \}A={a1,a2,⋯,am} 集合中的元素进行分类 ,

含有 AAA 中的元素 kkk 个 ,

剩下的 r−kr-kr−k 元素取自 B={b1,b2,⋯,bn}B = \{ b_1, b_2 , \cdots , b_n \}B={b1,b2,⋯,bn} 集合 ;

分步处理的逻辑是 : 先在 AAA 集合中选择 kkk 个元素 , 然后在 BBB 集合中选择 r−kr-kr−k 个元素 ;

因此 kkk 最多取 rrr 个 ( 全部从 AAA 集合中取 ) , 最少取 000 个 ( 全部从 BBB 集合中取 ) ;

( 4 ) 上述等式左右两边的计数是同一个计数 , 都是在两个集合中取 rrr 个元素的方案数 ;

三、组合恒等式 ( 积之和 ) 2

组合恒等式 ( 积之和 ) 2 :

∑k=0r(mk)(nk)=(m+nm)\sum\limits_{k=0}^{r}\dbinom{m}{k}\dbinom{n}{k} = \dbinom{m + n }{m}k=0∑r(km)(kn)=(mm+n)

四、组合恒等式 ( 积之和 ) 2 证明

该公式是 “组合恒等式 ( 积之和 ) 1” 的特例情况 ,

证明了上述 “组合恒等式 ( 积之和 ) 1” 公式后 , 本公式是上述公式的推论 ;

在 “组合恒等式 ( 积之和 ) 1” 公式

∑k=0r(mk)(nr−k)=(m+nr),r=min⁡{m,n}\sum\limits_{k=0}^{r}\dbinom{m}{k}\dbinom{n}{r-k} = \dbinom{m + n }{r} , \ \ \ \ \ \ r= \min \{ m, n \}k=0∑r(km)(r−kn)=(rm+n), r=min{m,n}

中 , 令 r=nr=nr=n , 就变成公式

∑k=0n(mk)(nn−k)=(m+nn)\sum\limits_{k=0}^{n}\dbinom{m}{k}\dbinom{n}{n-k} = \dbinom{m + n }{n}k=0∑n(km)(n−kn)=(nm+n)

(nn−k)\dbinom{n}{n-k}(n−kn) 与 (nk)\dbinom{n}{k}(kn) 是等价的 , 因此公式可以变成 :

∑k=0n(mk)(nk)=(m+nn)=(m+nn)\sum\limits_{k=0}^{n}\dbinom{m}{k}\dbinom{n}{k} = \dbinom{m + n }{n} =\dbinom{m + n }{n}k=0∑n(km)(kn)=(nm+n)=(nm+n)

因此 “组合恒等式 ( 积之和 ) 2” 是 “组合恒等式 ( 积之和 ) 1” 的一个特例情况 ;

【组合数学】组合恒等式 ( 组合恒等式积之和 1 | 积之和 1 证明 | 组合恒等式积之和 2 | 积之和 2 证明 )相关推荐

【组合数学】组合恒等式 ( 变下项求和 3 组合恒等式 | 变下项求和 4 组合恒等式 | 二项式定理 + 求导证明组合恒等式 | 使用已知组合恒等式证明组合恒等式 )
文章目录一.组合恒等式 ( 变下项求和 ) 变系数求和 1 二.组合恒等式 ( 变下项求和 ) 变系数求和 1 证明 ( 二项式定理 + 求导 ) 三.组合恒等式 ( 变下项求和 ) 变系数求和 2 ...
【组合数学】排列组合 ( 多重集组合数示例 | 三个计数模型 | 选取问题 | 多重集组合问题 | 不定方程非负整数解问题 )
文章目录一.多重集组合示例二.三个计数模型排列组合参考博客 : [组合数学]基本计数原则 ( 加法原则 | 乘法原则 ) [组合数学]集合的排列组合问题示例 ( 排列 | 组合 | 圆排列 | ...
java中给组合框加监听器,如何区分ActionEvent中的多个组合框
我有两个类,一个包含两个组合框的监听器类和一个监听两个组合框的监听器类.该软件是关于披萨的,而组合框的选择是披萨类型和数量,我会发布相关的代码. (gui class) private Listene ...
mysql中组合索引创建的原则是什么意思_mysql数据库建立组合索引原则
现实中,mysql可以根据业务需要建立组合索引,由于mysql使用B-Tree格式索引,可以直接定位记录,无需扫描.mysql建立多列索引有最左前缀的原则,即最左优先,如: 如果有一个2列的索引(co ...
组合模式详解附有代码案例分析（包含透明组合模式、安全组合模式的代码示例）
组合模式一.组合模式的概念和角色 (一).组合模式的概念 (二).组合模式的角色二.组合模式的应用场景三.透明组合模式的代码示例四.安全组合模式的代码示例五.组合模式的优缺点 (一).优点 ...
3.12 编写程序从键盘输入一个整数，计算并输出该数的数字之和。例如：请输入一个整数：8899123 各位数字之和为：40
package booksTest;import java.util.Scanner;public class p54_3_12 {public static void main(String[] a ...
c语言扑克牌随机发三张牌,扑克牌发三张概率组合一副扑克牌52张（不含大、小王）,发三张牌,一共多少种组合.另外：1）三张中含一对的组合有多少张?（...
共回答了20个问题采纳率:95% 这个题目我喜欢所有组合为:C(52,5) 1.A组为三张不关联明牌,组合:52*48*44,与B组二张暗牌组成一个对子.B的组合为:(12-3)*(52-12).概 ...
mysql 求两列数据组合_mysql – 将两个具有不同列数的查询组合在一起
我有两个查询要组合成单个输出,我不能使用UNIOn,因为它们具有不同的列数. 该表是ref,字段id为refid cellid cat,其中包含整数查询1:查找每个唯一cellid的总行数 SELE ...
c++ 排列组合_省考行测数量关系的老大难，排列组合的基本类型题及秒杀技巧...
作者:步知公考上岸学员 Jud°米娅不知不觉省考剩下50多天了,这50多天要想行测更上一层楼,除了保证资料分析等模块的准确率(70%-80%),数量关系也不可以丢太多的分数,而数量关系自认为最难的题 ...

【组合数学】组合恒等式 ( 组合恒等式积之和 1 | 积之和 1 证明 | 组合恒等式积之和 2 | 积之和 2 证明 )

文章目录

一、组合恒等式 ( 积之和 ) 1

二、组合恒等式 ( 积之和 ) 1 证明

三、组合恒等式 ( 积之和 ) 2

四、组合恒等式 ( 积之和 ) 2 证明

【组合数学】组合恒等式 ( 组合恒等式积之和 1 | 积之和 1 证明 | 组合恒等式积之和 2 | 积之和 2 证明 )相关推荐

最新文章

热门文章

【组合数学】组合恒等式 ( 组合恒等式 积之和 1 | 积之和 1 证明 | 组合恒等式 积之和 2 | 积之和 2 证明 )

文章目录

一、组合恒等式 ( 积之和 ) 1

二、组合恒等式 ( 积之和 ) 1 证明

三、组合恒等式 ( 积之和 ) 2

四、组合恒等式 ( 积之和 ) 2 证明

【组合数学】组合恒等式 ( 组合恒等式 积之和 1 | 积之和 1 证明 | 组合恒等式 积之和 2 | 积之和 2 证明 )相关推荐

最新文章

热门文章

【组合数学】组合恒等式 ( 组合恒等式积之和 1 | 积之和 1 证明 | 组合恒等式积之和 2 | 积之和 2 证明 )

【组合数学】组合恒等式 ( 组合恒等式积之和 1 | 积之和 1 证明 | 组合恒等式积之和 2 | 积之和 2 证明 )相关推荐