POJ 3233 矩阵快速幂

题意

传送门 POJ 3233

题解

考虑递推，相邻两项作差 Sk+1=Sk+Ak+1S_{k+1}=S_{k}+A^{k+1}Sk+1=Sk+Ak+1，将等式右边转换为相同系数以方便求解，那么定义 Sk′=I+A+⋯+Ak−1S^{'}_{k}=I+A+\dots+A^{k-1}Sk′=I+A+⋯+Ak−1，则有
(Sk′Ak)=(II0A)(Sk−1′Ak−1)=(II0A)k(0I)\begin{pmatrix} S^{'}_k \\ A^k \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} I & I\\ 0 & A\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} S^{'}_{k-1}\\ A^{k-1} \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} I & I\\ 0 & A\\ \end{pmatrix}^k\begin{pmatrix} 0\\ I\\ \end{pmatrix}(Sk′Ak)=(I0IA)(Sk−1′Ak−1)=(I0IA)k(0I)
设
(II0A)k+1=(ABCD)\begin{pmatrix} I & I\\ 0 & A\\ \end{pmatrix}^{k+1}=\begin{pmatrix} A & B\\ C & D\\ \end{pmatrix}(I0IA)k+1=(ACBD)
因为 Sk=Sk+1′−IS_k=S^{'}_{k+1}-ISk=Sk+1′−I，那么 B−IB-IB−I 即为所求。

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>
using namespace std;
typedef vector<int> vec;
typedef vector<vec> mat;
int N, K, M;mat mod_mul(mat &A, mat &B)
{mat C(A.size(), vec(B[0].size()));for (int i = 0; i < (int)A.size(); ++i)for (int k = 0; k < (int)B.size(); ++k)for (int j = 0; j < (int)B[0].size(); ++j)C[i][j] = (C[i][j] + A[i][k] * B[k][j]) % M;return C;
}mat mod_pow(mat &A, int n)
{mat B(A.size(), vec(A.size()));for (int i = 0; i < (int)A.size(); ++i)B[i][i] = 1;while (n){if (n & 1)B = mod_mul(B, A);A = mod_mul(A, A);n >>= 1;}return B;
}int main()
{scanf("%d%d%d", &N, &K, &M);mat B(N * 2, vec(N * 2));for (int i = 0; i < N; ++i)B[i][i] = B[i][N + i] = 1;for (int i = 0; i < N; ++i)for (int j = 0; j < N; ++j)scanf("%d", &B[N + i][N + j]);B = mod_pow(B, K + 1);for (int i = 0; i < N; ++i)for (int j = 0; j < N; ++j){int s = B[i][N + j];if (i == j)s = (s + M - 1) % M;printf("%d%c", s, j + 1 == N ? '\n' : ' ');}return 0;
}

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