一、向量基础知识

1、向量a的单位向量为 $\pm \frac{\vec{a}}{\left | a \right |}$ ，注意有正负号

2、方向角：向量与各坐标轴的夹角

方向余弦：方向角的余弦值，即各轴对应坐标除以模长，各轴坐标即为向量的各轴投影

二、内外积与混合积

1、向量积满足反交换律，计算使用三阶行列式（行列式三行的顺序不影响计算结果）

$\left [ abc \right ]= \begin{vmatrix} ax & ay &az \\ bx & by & bz\\ cx&cy & cz \end{vmatrix}=\left [ a\times b \right ]\cdot c$

2、证明三向量a,b,c共面，即证明三向量混合积为0

三、平面及其方程

1、平面方程有一般式（通过平面法向量确定x,y,z的系数，最后代入点求出常数D），点法式，截距式，一般式中x,y,z的系数即为平面的一个法向量

截距式 $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ ,其中a,b,c对应x,y,z截距

2、平面平行与哪个坐标轴，或包含，那么他的法向量对应轴坐标必为0（法向量垂直平面内任一直线），所以设方程时可以忽略掉对应变量或设法向量对应轴坐标为0，如果包含轴则平面方程不含D（因为平面过原点）

3、两平面的夹角公式即利用两个法向量的乘积求

4、求平面方程可以利用混合积（一般条件为点多，向量多）

5、点到平面的距离公式类比平面中点到直线距离公式

四、空间直线及其方程

1、一般方程（即两平面决定一条直线）

点向式方程（一定点一方向向量，式子中的方向向量代表的是过原点的一个向量，所以省略减0不写）

参数方程（令点向式等于t得到）

2、直线与直线的夹角 $cos\varphi =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\left | a \right |\left | b \right |}$ (其中a，b为两直线的方向向量)

3、两平面的交线的方向向量可以用两平面的法向量的向量积表示

4、平面束方程：此方程表示过一条直线的所有平面（代入点来求出 $\lambda$ 得到所需平面，有平面过直线的条件才设）

同理，点向式可以利用等式硬凑出含x,y,z的等式，左右随机一方乘以 $\lambda$ 来设立平面束方程

用法：题目给出过一点定直线和定点求平面时，将点代入含 $\lambda$ 的方程求出后，即使所求的平面方程

四.（1）直线，平面，定点间的关系

5、直线与平面交点问题：将直线点向式方程转为参数方程（一般式就利用三元一次方程组计算），将含t的式子代入平面方程求出t后，回代入x，y，z中即求出交点

6、定点与直线的距离问题：求出垂直于直线且过定点的平面，然后用四.5的方法联立平面与直线求出交点，最后利用两点间距离公式求出两点间距离

7、求直线在定平面上的投影直线：利用平面束方程设直线的平面，利用两平面法向量的乘积为0求出垂直平面，最后用一般式（即两平面方程组）表示投影直线

8、两直线相交用已知直线求未知直线问题：利用混合积结果等于0，第一行表示为过定点的向量，二三行分别为两个直线的方向向量（只要三个向量都是共面的，都可以用这个混合积令其等于0来求解未知数）（此方法也可看做求平面，二三行的向量积是法向量，第一行是定点，即点法式方程）

9、三维空间中点到直线的距离：求p到直线l的距离，设p0为直线上任意一点，直线方向向量为s，距离d= $\frac{\left | \vec{pp0} \times \vec{s}\right |}{\left | \vec{s} \right |}$

点到平面的距离：p0(x0,y0,z0),平面Ax+By+Cd+D=0,d= $\frac{\left | Ax0+By0+Cz0+D \right |}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}$ (即二维平面中点到直线的进阶版)

10、一点一直线求平面方程：同8的方法一样，利用混合积等到结果为0的方程式

11、两直线间的距离公式：设两直线方向向量为s1,s2,A,B分别为两线上的点，d= $\frac{\left [ s1s2\vec{AB} \right ]}{\left | s1\times s2 \right |}$

五、曲面及其方程

（1）柱面

由一条准线上各个点沿着母线方向不断平移延伸而形成的曲面，方程式多为只含x,y的方程，这样不含z就可以沿着z轴方向不断平移延伸形成柱面

（2）旋转曲面

某平面的曲线绕着此面内的一个定轴旋转而形成的曲面，绕哪个轴哪个变量不变，而因为曲面必有z，所以另一个变量会加上z（例如绕y转，那么x会变为 $\pm \sqrt{x^{2}+z^{2}}$ ）

例1、求旋转曲面 $\left ( z-a \right )^{2}=x^{2}+y^{2}$ 如何形成

解：可由 $z=a\pm x$ 或 $z=a\pm y$ 绕z轴旋转得到

（3）二次曲面

1、椭圆锥面、椭圆抛物面、双曲抛物面区别：前者z有平方，中后者z为一次方，中者x,y系数为正，后者x,y系数一正一负（即符合平面的椭圆与双曲线形式）

单双叶双曲面区别：单叶为一，双叶为负一，同化为1，双叶的负系数更多

椭球面即在三个面内都是椭圆图形

例1（求曲线在某平面的投影）

例2 求柱面方程，x0代表准线上的点，x代表柱面上的点，后者范围更大包含了前者全部点

例3 求旋转面方程（绕着哪个轴转，哪个轴会成为曲线与曲面方程的沟通桥梁，例如绕着z轴，则有z=z0）（旋转后那一圈的点到原点的距离都一样）

六、空间曲线及其方程

例1：

只有等号代表曲面，有大于小于号代表曲面体

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