luogu P3327 [SDOI2015]约数个数和（rng58-clj等式）

题目大意

设d(x)d(x)d(x)为x的因子的个数，给出N和M求
∑i=1n∑j=1md(i,j)\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^md(i,j) i=1∑nj=1∑md(i,j)

解题思路

根据rng58-clj等式，有
∑i=1n∑j=1md(i,j)=∑i=1n∑j=1m[gcd(i,j)=1]⌊ni⌋⌊mj⌋\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^md(i,j)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[gcd(i,j)=1]\left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor\left\lfloor\frac{m}{j}\right\rfloor i=1∑nj=1∑md(i,j)=i=1∑nj=1∑m[gcd(i,j)=1]⌊in⌋⌊jm⌋
显然对[gcd(i,j)=1][gcd(i,j)=1][gcd(i,j)=1]可以做反演，再通过改变枚举顺序，可以得到
∑i=1n∑j=1md(i,j)=∑d=1μ(d)∑i=1⌊nd⌋∑j=1⌊md⌋⌊nid⌋⌊mid⌋\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^md(i,j)=\sum_{d=1}\mu(d)\sum_{i=1}^{\left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor}\sum_{j=1}^{\left\lfloor\frac{m}{d}\right\rfloor}\left\lfloor\frac{n}{id}\right\rfloor\left\lfloor\frac{m}{id}\right\rfloor i=1∑nj=1∑md(i,j)=d=1∑μ(d)i=1∑⌊dn⌋j=1∑⌊dm⌋⌊idn⌋⌊idm⌋
预处理出∑i=1n⌊ni⌋\sum_{i=1}^n\left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor∑i=1n⌊in⌋再做整除分块即可

AC代码

// luogu-judger-enable-o2
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int size=5e4+5;
int p[size];bool prime[size];
int mu[size];
int summu[size];
int tot;
typedef long long LL;
LL sum[size];
void init()
{mu[1]=1;for(int i=1;i<size;i++) prime[i]=true;for(int i=2;i<size;i++){if(prime[i]){p[++tot]=i;mu[i]=-1;}for(int j=1;j<=tot&&p[j]*i<size;j++){prime[i*p[j]]=false;if(i%p[j]==0){mu[i*p[j]]=0;break;}else mu[i*p[j]]=-mu[i];}}summu[0]=0;for(int i=1;i<size;i++) summu[i]=summu[i-1]+mu[i];memset(sum,0,sizeof(sum));for(int i=1;i<size;i++){for(int l=1,r;l<=i;l=r+1){r=i/(i/l);sum[i]+=(r-l+1)*(i/l);}}
}
int main()
{int t;init();scanf("%d",&t);while(t--){int n,m;scanf("%d%d",&n,&m);LL ans=0;if(n<m)  swap(n,m);for(int l=1,r;l<=m;l=r+1){r=n/(n/l);r=min(r,m/(m/l));ans+=(summu[r]-summu[l-1])*sum[n/l]*sum[m/l];}printf("%lld\n",ans);}
}