[SDOI2015]约数个数和

题目描述

设\(d(x)\)为\(x\)的约数个数，给定\(N,M\)，求$ \sum\limits^N_{i=1}\sum\limits^M_{j=1}d(ij)$

输入输出格式

输入格式：

输入文件包含多组测试数据。第一行，一个整数\(T\)，表示测试数据的组数。接下来的\(T\)行，每行两个整数\(N,M\)。

输出格式：

\(T\)行，每行一个整数，表示你所求的答案。

说明

\(1 \le N, M \le 50000\)

\(1 \le T \le 50000\)

Solution

引理\(1\)：

\[\sum_{d|gcd(a,b)} \mu(d)=[gcd(a,b)=1]\]

引理\(2\):

\[d(ij)=\sum_{x|i}\sum_{y|j}[gcd(x,y)=1]\]

可以通过\(d\)唯一分解后的计算式感性理解一下

剩下的暴力推个式子

\[\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^bd(ij)\]

\[=\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^b\sum_{x|i}\sum_{y|j}\sum_{d|gcd(x,y)}\mu(d)\]

暴力更换不太好枚举的一些东西（比如谁整除谁）

\[=\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^b\sum_{x|i}\sum_{y|j}\sum_{d=1}^{min(a,b)}\mu(d)[d|gcd(x,y)]\]

\[=\sum_{d=1}^{min(a,b)}\mu(d)\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^b\sum_{x|i}\sum_{y|j}[d|gcd(a,b)]\]

调整求和顺序

\[=\sum_{d=1}^{min(a,b)}\mu(d)\sum_{x=1}^a\sum_{y=1}^b[d|gcd(a,b)]\sum_{x|i}^a\sum_{y|j}^b 1\]

\[=\sum_{d=1}^{min(a,b)}\mu(d)\sum_{x=1}^a\sum_{y=1}^b[d|gcd(a,b)]\lfloor\frac{a}{x}\rfloor\lfloor\frac{b}{y}\rfloor\]

某一项太不好弄了，通过更改枚举项拿掉

\[=\sum_{d=1}^{min(a,b)}\mu(d)\sum_{x=1}^{\lfloor\frac{a}{d}\rfloor}\sum_{y=1}^{\lfloor\frac{b}{d}\rfloor}\lfloor\frac{a}{dx}\rfloor\lfloor\frac{b}{dy}\rfloor\]

发现求和项也带有下取整，预处理前缀和以后直接整除分块就可以了。

Code:

#include <cstdio>
#define ll long long
const int N=5e4;
int pri[N+10],mu[N+10],ispri[N+10],f[N+10],cnt,T,a,b;
void init()
{mu[1]=1;for(int i=2;i<=N;i++){if(!ispri[i]){pri[++cnt]=i;mu[i]=-1;}for(int j=1;j<=cnt&&pri[j]*i<=N;j++){ispri[i*pri[j]]=1;if(i%pri[j]==0) break;else mu[i*pri[j]]=-mu[i];}}for(int i=1;i<=N;i++){mu[i]+=mu[i-1];for(int l=1,r;l<=i;l=r+1){r=i/(i/l);f[i]+=i/l*(r-l+1);}}
}
int min(int x,int y){return x<y?x:y;}
int main()
{init();scanf("%d",&T);while(T--){scanf("%d%d",&a,&b);ll ans=0;for(int l=1,r;l<=min(a,b);l=r+1){r=min(a/(a/l),b/(b/l));ans+=1ll*(mu[r]-mu[l-1])*f[a/l]*f[b/l];}printf("%lld\n",ans);}return 0;
}

2018.10.20