第九章（6）--多元函数微分学的几何应用

1.向量值函数的定义：

a. 数集 $D\subset R$ 到三维欧氏空间 $R^3$ 的映射 $f:D\rightarrow R^3$ , 称为一元向量值函数

b. 记作： $\overrightarrow{r}=f(t),t\epsilon D\subset R$

c. D 称为向量值函数 f 的定义域，t 被称为自变量，r 称为因变量。

d. 一元向量值函数与一元数量值函数：前者是后者的推广，现在自变量 t 依然是实数值，因变量 r 不再取实数而是取值 n维向量

2 三维空间 $R^3$ 中的向量值函数的坐标分解表达式：

有向量值函数 $f(t),t\epsilon D\subset R$ ，若它的三个分量以此为 $f_1(t),f_2(t),f_3(t)$ ,则有向量值函数可以表示为：

$f(t)=f_1(t)i+f_2(t)j+f_3(t)k ,OR, f(t)=(f_1(t),f_2(t),f_3(t))$

3 向量值函数的图形：

三维向量值函数 $r=f(t),t\epsilon D$ 的图形三维空间中的一条曲线，称为终端曲线。

描述如下：

设变向量r的起点取在坐标系的原点O处，终点在M处，即是 $r= \overrightarrow{OM}$ 。当自变量 t 发生变化的时候，r 跟着发生变化，从而终点M也随之改变，终点M的轨迹是空间中的一条曲线，就是三维向量值函数 $r=f(t),t\epsilon D$ 的图形，即是终端曲线。

结论：1.向量值函数和空间中的曲线有一一对应的关系: 有一条空间曲线就有一个向量值函数，有一个向量值函数就有取定了一条空间曲线。

2.向量值函数 $f(t)=f_1(t)i+f_2(t)j+f_3(t)k =(f_1(t),f_2(t),f_3(t)),t\epsilon D$ 称为对应空间曲线的向量方程

4. 向量值函数的极限

设向量值函数 $f(t)$ 在 t 的某领域内有定义,

如果存在一个常向量 $r_0$ ,对于任意给定的正数 $\varepsilon \left ( >0 \right )$ , 总存在与 $\varepsilon$ 存在依赖关系的正数 $\delta(\varepsilon )$ ,使得当 t 满足 $0<|t-t_0|<\varepsilon$ 时，对应的向量函数值 f（t）满足不等式，

$|f(t)-r_0|<\varepsilon$

，那么（结论），常向量 $r_0$ 称为函数值 $f(t)$ 当 $t \to t_0$ 时的极限。

记作：

$\lim_{t \to t_0}f(t) =r_o$

或者

$f(t) \to r_o (t \to t_o)$

极限存在的充要条件：

$f(t) \to r_o (t \to t_o)\Leftrightarrow$ 向量值函数的三个分量函数 $f_1,f_2,f_3$ 当 $t \to t_o$ 时的极限都存在。

解释：

1.如果向量值函数的极限存在，则三个分量实值函数的极限都存在；另一方面，如果三个分量数量函数的极限都存在，则向量值函数的极限也一定存在在。

2.当向量值函数的极限存在的时候有：

$\lim_{t \to t_0}f(t) =(\lim_{t \to t_o}f_1(t),\lim_{t \to t_o}f_{2}(t),\lim_{t \to t_o}f_3(t))$ （向量值函数的极限计算公式）

5 向量值函数的连续性：

若一元向量值函数在 $t_o$ 的某领域内有定义，且其极限等于 $t_o$ 处的函数值，即是

$\lim_{t \to t_0}f(t) =f(t_o)$ 则说向量值函数 $f(t)$ 在 $t_o$ 处连续。

连续性的应用：

（1）已知函数的极限，判断函数的在点 $t_o$ 的连续性；（2）已知函数连续性，求函数的极限。

定理：（函数连续的充要条件）

向量值函数 $f(t)$ 在 $t_o$ 处连续 $\Leftrightarrow$ 函数 $f(t)$ 的三个分量都在 $t_o$ 处连续。

数集D上的连续函数：

如果向量值函数在其定义数集D 上每一点都连续，则函数 f 在数集D上连续。

6 向量值函数的导数：

设向量值函数 $f(t)$ 在 t 的某领域内有定义,

如果极限

$\lim_{t \to t_o} \frac{\Delta r}{\Delta t} =\lim_{t \to t_o} \frac{f(t_o+\Delta t)-f(t_o)}{\Delta t}$ 存在，

那么这个极限就是函数 $r=f(t)$ 的导数 ,记作：

$f'(t_o) = \frac{dr}{dt}|_{t=t_o}$

f 在数集D上可导：

若向量值函数 f 在定义区间 D 上的每一处都是可导的，那么称函数f 在数集D上可导。

定理

向量值函数 $f$ 可导 $\Leftrightarrow$ 向量值函数 $f$ 的三个分量 $f_1,f_2,f_3$ 在 $t_o$ 处都是可导的；

此时的计算公式为： $f'(t)=f'_{1}(t)i+f'_{2}(t)j+f'_{3}(t)k$

7.向量值函数的导数的运算法则：

可以完全类比数量函数的导数的运算法则。

参考：https://wenku.baidu.com/view/3d7d2e777cd184254b3535e6.html

8. 向量值函数 $r=f(t)$ 导数的几何意义：

8.1 t 的增长方向 ------- 自变量 t 增大的时候，如图所示，的点p 的移动方向简称为 t 的增长方向。

8.2 当 $\Delta t > 0$ 时，自变量的增量   $\Delta r =f(t_o+\Delta t) -f(t_o)$ 与t增长方向一致；

当 $\Delta t < 0$ 时，自变量的增量   $\Delta r =f(t_o+\Delta t) -f(t_o)$ 与t增长方向相反。

但是，不论是上述两种情况的任一种，都有向量 $\frac{\Delta r }{\Delta t} =\frac{1}{\Delta t} \Delta r$ 的指向总是与 t 的增长方向一致。

当 $\Delta t \to 0$ ,向量 $\Delta r$ 逼近函数f 在点 M处的切线。

8.3 定理：导向量

   $f'(t)=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta r }{\Delta t }$

是向量值函数， $r=f(t)$ 的终端曲线 $\Gamma$ 在点M处的一个切向量，且此切向量的志向与 t 的增长方向一致。

9 空间曲线的切向方程和法平面方程

由三维向量值函数的导（数）向量的几何意义，可以轻松的得到空间曲线的切线方程 和 法平面方程。

9.1 空间曲线以参数方程形式出现的情形：

$\frac{ x-x_o}{\varphi'(t_o) }=\frac{y-y_o }{\psi '(t_o) }=\frac{ z-z_o}{w'(t) }$

$\varphi'(t_o) (x-x_o)+\psi '(t_o) (y-y_o) + w'(t)(z-z_o)=0$

9.2 空间曲线以两个空间柱面方程给出情形：

曲线方程为

$\left\{\begin{matrix} y=\varphi(x)\\ \\ z=\psi(x) \end{matrix}\right.$

上述方程可以改写为：

$\left\{\begin{matrix} y=\varphi(x)\\x=x \\ z=\psi(x) \end{matrix}\right.$ 直接套用9.1 的公式，即可得到切线方程和发平面方程。

9.3 空间曲线以连个普通空间曲面方程（隐式方程）给出的情形：

曲线方程为

$\left\{\begin{matrix} F(x,y,z)=0\\ \\ G(x,y,z)=0 \end{matrix}\right.$ ,

若函数F，G具有对各个变量连续偏导数且有雅克比式 $\frac{\partial (F,G)}{\partial (y,z)} \neq 0$ ，这就满足了隐函数存在定理的条件，此方程组能唯一取定一组函数

$\left\{\begin{matrix} z=\varphi(x)\\ y=\psi(x) \end{matrix}\right.$ , 利用隐函数存在定理提供的偏导数的求法，或则使用推导法（直接法）可以求得偏导数 $\frac{d z}{dx} ,\frac{d y}{d x}$

,然后套用9.2的公式，立即可得，切线方程和法平面返程。

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第九章（6）--多元函数微分学的几何应用

1.向量值函数的定义：

2 三维空间 $R^3$ 中的向量值函数的坐标分解表达式：

3 向量值函数的图形：

4. 向量值函数的极限

5 向量值函数的连续性：

6 向量值函数的导数：

7.向量值函数的导数的运算法则：

可以完全类比数量函数的导数的运算法则。

8. 向量值函数 $r=f(t)$ 导数的几何意义：

9 空间曲线的切向方程和法平面方程

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