参考：http://www.paulsprojects.net/opengl/cloth/cloth.html

写给我的室友：

布料仿真的常用方法就是将布料表达为三维网格，然后通过弹力+外力进行布料仿真。它在游戏中有着广泛的应用，如衣袖的摆动，旗帜的飘动；此外，也可以用于模拟试衣等。

模型初始化

在质点弹簧模型中，整个布料由网格点表达，而点与点之间的连线，我们称之为弹簧。

布料一个点的位置是由它周围的12个点控制的。其中8个是相邻点，另外4个是隔点的邻接点。

对于弹簧而言，存在三种弹簧，一种是结构弹簧，一种是剪切弹簧，还有一种是弯曲弹簧。它们分别与上图12根弹簧对应。

其中，结构弹簧模拟的是横向的力，为了阻止布料在横向产生较大的拉压变形。

剪切弹簧同理，是为了阻止布料在斜向产生较大的拉压变形。

而弯曲弹簧连接了两个相隔的点，它主要作用是在布料发生弯曲形变的时候，阻止它的过度弯曲，导致布料的角一下子坍塌。这个系数有时候也可以不考虑。

在具体的代码实现中，我们初始化点的位置、速度（初始化为0），质量（设为统一的值），以及是否固定（固定后将不受外力，即重力）。

接下来，执行六个循环，来初始化弹簧，对应于上图，可以避免重复边计算。对于弹簧，我们需要指定两个端点，弹性系数（所有的弹簧都一样），初始长度（跟位置有关，上下左右为1，斜边为根号2，红色边为2）

 //The first (gridSize-1)*gridSize springs go from one ball to the next,//excluding those on the right hand edgefor(int i=0; i<gridSize; ++i){for(int j=0; j<gridSize-1; ++j){currentSpring->ball1=i*gridSize+j;currentSpring->ball2=i*gridSize+j+1;currentSpring->springConstant=springConstant;currentSpring->naturalLength=naturalLength;++currentSpring;}}//The next (gridSize-1)*gridSize springs go from one ball to the one below,//excluding those on the bottom edgefor(int i=0; i<gridSize-1; ++i){for(int j=0; j<gridSize; ++j){currentSpring->ball1=i*gridSize+j;currentSpring->ball2=(i+1)*gridSize+j;currentSpring->springConstant=springConstant;currentSpring->naturalLength=naturalLength;++currentSpring;}}//The next (gridSize-1)*(gridSize-1) go from a ball to the one below and right//excluding those on the bottom or rightfor(int i=0; i<gridSize-1; ++i){for(int j=0; j<gridSize-1; ++j){currentSpring->ball1=i*gridSize+j;currentSpring->ball2=(i+1)*gridSize+j+1;currentSpring->springConstant=springConstant;currentSpring->naturalLength=naturalLength*sqrt(2.0f);++currentSpring;}}//The next (gridSize-1)*(gridSize-1) go from a ball to the one below and left//excluding those on the bottom or rightfor(int i=0; i<gridSize-1; ++i){for(int j=1; j<gridSize; ++j){currentSpring->ball1=i*gridSize+j;currentSpring->ball2=(i+1)*gridSize+j-1;currentSpring->springConstant=springConstant;currentSpring->naturalLength=naturalLength*sqrt(2.0f);++currentSpring;}}//The first (gridSize-2)*gridSize springs go from one ball to the next but one,//excluding those on or next to the right hand edgefor(int i=0; i<gridSize; ++i){for(int j=0; j<gridSize-2; ++j){currentSpring->ball1=i*gridSize+j;currentSpring->ball2=i*gridSize+j+2;currentSpring->springConstant=springConstant;currentSpring->naturalLength=naturalLength*2;++currentSpring;}}//The next (gridSize-2)*gridSize springs go from one ball to the next but one below,//excluding those on or next to the bottom edgefor(int i=0; i<gridSize-2; ++i){for(int j=0; j<gridSize; ++j){currentSpring->ball1=i*gridSize+j;currentSpring->ball2=(i+2)*gridSize+j;currentSpring->springConstant=springConstant;currentSpring->naturalLength=naturalLength*2;++currentSpring;}}

加入外力并更新位置

对于布料，维护两个状态，当前状态和下一状态，每隔10ms，我们根据已知的当前信息，根据公式计算下一状态信息，然后把下一状态转移为当前状态。

首先，我们计算每根弹簧形变产生的压力。

     //Calculate the tensions in the springs//计算弹簧压力for(int i=0; i<numSprings; ++i){//弹簧长度 = 前一个弹簧的位置 - 下一个弹簧的位置float springLength=( currentBalls[springs[i].ball1].position-currentBalls[springs[i].ball2].position).GetLength();//伸展 = 现在长度 - 原始长度float extension=springLength-springs[i].naturalLength;//压力 = 弹性系数 * 伸展 / 自然长度springs[i].tension=springs[i].springConstant*extension/springs[i].naturalLength;}

在这里使用的公式为 F = k△x。在上面代码中，又除以了自然长度，这是因为对于物理上完全相同的弹簧而言，弹性系数与长度有关，而在这里我们设为相同的，为了抵消这种影响，需要消除这个参数。

我们需要注意k的选取：如果k太小，布料就会过于柔软，呈现凹陷的状态，而如果k太大，布料会显得过于僵硬。

如果该点不是固定的，那么需要计算外力。

对于每个弹簧，我们对它的两个端点加上这个弹簧的弹力以及外力（在这里，外力为重力）。

//Loop through springs
for (int j = 0; j<numSprings; ++j)
{//If this ball is "ball1" for this spring, add the tension to the forceif (springs[j].ball1 == i){VECTOR3D tensionDirection = currentBalls[springs[j].ball2].position -currentBalls[i].position;tensionDirection.Normalize();//把力加上去force += springs[j].tension*tensionDirection;}//Similarly if the ball is "ball2"if (springs[j].ball2 == i){VECTOR3D tensionDirection = currentBalls[springs[j].ball1].position -currentBalls[i].position;tensionDirection.Normalize();force += springs[j].tension*tensionDirection;}
}

得到外力后，我们根据牛顿第二定律计算每个控制点新的位置：

//计算加速度
//Calculate the acceleration
VECTOR3D acceleration = force / currentBalls[i].mass;//更新速度
//Update velocity
nextBalls[i].velocity = currentBalls[i].velocity + acceleration*
(float)timePassedInSeconds;
//减少速度
//Damp the velocity
nextBalls[i].velocity *= dampFactor;//Calculate new position
//计算新的位置
nextBalls[i].position = currentBalls[i].position +
(nextBalls[i].velocity + currentBalls[i].velocity)*(float)timePassedInSeconds / 2;

之后，对球体和地板进行碰撞检测：

//Check against sphere (at origin)
//计算球体
if (nextBalls[i].position.GetSquaredLength()<sphereRadius*1.08f*sphereRadius*1.08f)nextBalls[i].position = nextBalls[i].position.GetNormalized()*sphereRadius*1.08f;//Check against floor
if (nextBalls[i].position.y<-8.5f)nextBalls[i].position.y = -8.5f;

最终把下一状态转移到当前状态，并计算新的法线（根据两个矢量的叉积）：

//Calculate the normals on the current balls
for (int i = 0; i<gridSize - 1; ++i)
{for (int j = 0; j<gridSize - 1; ++j){VECTOR3D & p0 = currentBalls[i*gridSize + j].position;VECTOR3D & p1 = currentBalls[i*gridSize + j + 1].position;VECTOR3D & p2 = currentBalls[(i + 1)*gridSize + j].position;VECTOR3D & p3 = currentBalls[(i + 1)*gridSize + j + 1].position;VECTOR3D & n0 = currentBalls[i*gridSize + j].normal;VECTOR3D & n1 = currentBalls[i*gridSize + j + 1].normal;VECTOR3D & n2 = currentBalls[(i + 1)*gridSize + j].normal;VECTOR3D & n3 = currentBalls[(i + 1)*gridSize + j + 1].normal;//Calculate the normals for the 2 triangles and add onVECTOR3D normal = (p1 - p0).CrossProduct(p2 - p0);n0 += normal;n1 += normal;n2 += normal;normal = (p1 - p2).CrossProduct(p3 - p2);n1 += normal;n2 += normal;n3 += normal;}
}//Normalize normals
for (int i = 0; i<numBalls; ++i)currentBalls[i].normal.Normalize();
}

拓展

以上算法提供了布料模拟的一个基本雏形，在可扩展性上，可以考虑到这些问题：

1) 没有精确的碰撞检测（包括自身的碰撞建策和与外物的碰撞检测）

2) 布料是纯光滑的，没有考虑到质地(摩擦因子)

3) 外力较为单一

4)把布料抽象为面片，没有考虑到厚度

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