Bullet 可变物体的底层算法分析

1. 计算机图形学中可变建模方法
- 1.1 质点—弹簧模型（离散）
- 1.2 有限元连续体模型（连续）
2. 布料模拟的两种主要算法
- 2.1 隐式时间积分
- 2.2 基于位置约束的动力学算法（Position-Based Dynamics，PBD）
3. Bullet源码分析
- 3.1 PBD算法

先给结论，Bullet布料仿真建模用的是有限元方法（Finite Element Method, FEM）的底层算法是基于位置约束的动力学算法(Position-Based Dynamics,PBD)，这个在PyBullet Quickstart Guide目录里面有写，那代码是怎么实现的呢？

1. 计算机图形学中可变建模方法

在计算机图形学中，布料物理模拟的建模方法各不相同。其中质点—弹簧模型和有限元连续体模型是最为常见的布料物理模型。

1.1 质点—弹簧模型（离散）

质点—弹簧模型将布料视为一个带约束的网格，网格的每一个顶点都是质点，被赋予一个特定的质量。布料的力学效果通过网格顶点之间添加弹簧产生相互作用力来模拟。
三种弹簧类型和作用（如下图所示）
结构弹簧：维持布料基本形状
剪切弹簧：防止过大剪切变形
弯曲弹簧：防止出现过度弯曲

代表作： PROVOT X. Deformation Constraints in a Mass-spring Model to Describe Rigid Cloth Behaviour[J]. Graphics Interface, (1995)

1.2 有限元连续体模型（连续）

原理：将布料视为连续介质，通过有限元算法将其离散化，并基于弹性力学原理进行建模。

代表作：Wang H, O'Brien J F, Ramamoorthi R. Data-driven elastic models for cloth: modeling and measurement[J]. ACM transactions on graphics (TOG), 2011

2. 布料模拟的两种主要算法

2.1 隐式时间积分

基于牛顿第二定律，由力求出加速度后进行迭代

( I − h M − 1 ∂ f ∂ v − h 2 M − 1 ∂ f ∂ x ) Δ v = h M − 1 ( f 0 + h ∂ f ∂ x v 0 ) \left(\mathbf{I}-h \mathbf{M}^{-1} \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{v}}-h^{2} \mathbf{M}^{-1} \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{x}}\right) \Delta \mathbf{v}=h \mathbf{M}^{-1}\left(\mathbf{f}_{0}+h \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{x}} \mathbf{v}_{\mathbf{0}}\right) (I−hM−1∂v∂f−h2M−1∂x∂f)Δv=hM−1(f0+h∂x∂fv0)

代表作：Baraff D, Witkin A. Large steps in cloth simulation[C]//Proceedings of the 25th annual conference on Computer graphics and interactive techniques (1998)

2.2 基于位置约束的动力学算法（Position-Based Dynamics，PBD）

该方法直接计算网格顶点位置的改变，使用几何约束来描述布料的非线性特性，以此模拟布料内部的弹力，开源软件Bullet就使用了该方法进行实时仿真.

代表作：Müller, Matthias, et al. "Position based dynamics." Journal of Visual Communication and Image Representation 18.2 (2007)

3. Bullet源码分析

3.1 PBD算法

下载Bullet源码后进入文件夹bullet3-master\src\BulletSoftBody，这里感谢一下原作者Xuchen Han，还有论文提到了可变物体与刚体的两种耦合方式。

/*Written by Xuchen Han <xuchenhan2015@u.northwestern.edu>/* ====== Overview of the Deformable Algorithm ====== *//*
A single step of the deformable body simulation contains the following main components:
Call internalStepSimulation multiple times, to achieve 240Hz (4 steps of 60Hz).
1. Deformable maintaintenance of rest lengths and volume preservation. Forces only depend on position: Update velocity to a temporary state v_{n+1}^* = v_n + explicit_force * dt / mass, where explicit forces include gravity and elastic forces.
2. Detect discrete collisions between rigid and deformable bodies at position x_{n+1}^* = x_n + dt * v_{n+1}^*.3a. Solve all constraints, including LCP. Contact, position correction due to numerical drift, friction, and anchors for deformable.3b. 5 Newton steps (multiple step). Conjugent Gradient solves linear system. Deformable Damping: Then velocities of deformable bodies v_{n+1} are solved inM(v_{n+1} - v_{n+1}^*) = damping_force * dt / mass,by a conjugate gradient solver, where the damping force is implicit and depends on v_{n+1}.Make sure contact constraints are not violated in step b by performing velocity projections as in the paper by Baraff and Witkin https://www.cs.cmu.edu/~baraff/papers/sig98.pdf. Dynamic frictions are treated as a force and added to the rhs of the CG solve, whereas static frictions are treated as constraints similar to contact.
4. Position is updated via x_{n+1} = x_n + dt * v_{n+1}.The algorithm also closely resembles the one in http://physbam.stanford.edu/~fedkiw/papers/stanford2008-03.pdf*/

这里的代码应该着重考虑帆布这类弱弹性甚至无弹性的软布，解析一下源码的步骤：
1、可变形布保持静止时长度和体积，力只取决于位置。这里大家可以想象一下塑料桌布。这里对应PBD算法的第5行
v n + 1 ∗ = v n + f ∗ d t / m a s s v_{n+1}^* = v_n + f * dt / mass vn+1∗=vn+f∗dt/mass
2、检测可变物体网格点与刚体之间的碰撞，

3a、求解所有的约束：PBD算法第8行

3、可变形缓冲导致速度减缓，PBD算法第9-11行，这里迭代了5次。通过执行速度投影，确保在步骤 b 中不违反接触约束。这里用了一个很精彩的处理摩擦力的策略：动态摩擦被视为一种力并添加到 CG 求解的 rhs 中，而静态摩擦被视为类似于接触的约束。

4、更新位置

所以Bullet底层的模拟算法用的就是PBD算法。

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