概率论—贝叶斯定理解析

2024-05-10 03:28:26

贝叶斯定理

前言
用图来解释

前言

贝叶斯定理是关于随机事件A和B的条件概率（或边缘概率）的一则定理。其中P（A|B）是在B发生的情况下A发生的可能性。
贝叶斯定理也称贝叶斯推理，早在18世纪，英国学者贝叶斯（1702～1761）曾提出计算条件概率的公式用来解决如下一类问题：假设H[1],H[2]…,H[n]互斥且构成一个完全事件，已知它们的概率P(H[i]),i=1,2,…,n,现观察到某事件A与H[1],H[2]…,H[n]相伴随机出现，且已知条件概率P(A|H[i])，求P(H[i]|A)。

通常地，在已知A，B单独发生概率及在A发生情况下B发生概率，可求得B发生情况下A发生的概率，形如：

用图来解释

我们带入一个实际的场景：
A 为某地区早上阴天概率 40%
B 为某地区下雨概率10%
A|B 为某地区下雨时早上阴天的概率为50%

现求该地区早上阴天时下雨的概率？即 B|A

P ( B ∣ A ) = P ( B ) ∗ P ( A ∣ B ) P ( A ) = 0.1 ∗ 0.5 / 0.4 = 0.125 = 12.5 P(B|A) = \frac{P(B)* P(A|B)}{P(A)} = 0.1*0.5/0.4 =0.125=12.5% P(B∣A)=P(A)P(B)∗P(A∣B)=0.1∗0.5/0.4=0.125=12.5

现在我们把概率放到四个方块中考虑；
先验概率A：

先验概率B：

AB同时发生概率：

现在回顾一下

事件A|B（某地区下雨时早上阴天的概率为50%）

即为A∩B（阴天且下雨）部分占事件B（下雨）的50%（下雨的情况中有50%的情况都是有阴天）。
即似然概率 P ( A ∣ B ) = P ( A ∩ B ) P ( B ) 即似然概率P(A|B) = \frac{P(A∩B)}{P(B)} 即似然概率P(A∣B)=P(B)P(A∩B)
显然地，事件B|A 为A∩B（阴天且下雨）部分占事件A（阴天）的概率。
即后验概率 P ( B ∣ A ) = P ( A ∩ B ) P ( A ) = P ( B ) ∗ P ( A ∣ B ) P ( A ) 即后验概率P(B|A)=\frac{P(A∩B)}{P(A)}=\frac{P(B)* P(A|B)}{P(A)} 即后验概率P(B∣A)=P(A)P(A∩B)=P(A)P(B)∗P(A∣B)

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