离散数学实验报告2

文章目录

离散数学实验报告2
- 一、实验题目
- 二、实验目的
- 三、实验要求
- 四、实验步骤和内容
- - 需求分析：
  - - 输入形式与输入范围
  - 概要设计：
  - - 使用的数据结构与算法：
    - 程序流程：
  - 详细代码
  - 调试分析
  - - 调试过程中所遇到的问题及解决方法
    - 算法的时空分析
- 五、实验结果
- 六、实验总结

一、实验题目

实验题目：关联矩阵、相邻矩阵、生成树、环路空间、断集空间的求解

实验时间: 2021.12.16

二、实验目的

掌握无向连通图生成树的求解方法；
掌握基本回路系统和环路空间的求解方法；
掌握基本割集系统和断集空间的求解方法；
了解生成树、环路空间和断集空间的实际应用。

三、实验要求

给定无向简单连通图的相邻矩阵例如:[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-MPyNdYqm-1654332805884)(/Users/a26012/Desktop/截屏2021-12-23 15.02.35.png)]。
输出此图的关联矩阵M。
求此图所有生成树个数。
输出其中任意一颗生成树的相邻矩阵（默认第i行对应顶点vi）和关联矩阵（默认第i行对应顶点vi，第j列对应边ej）。
求此生成树对应的基本回路系统（输出形式如：{e1e4e3,e2e5e3}）。
求此生成树对应的环路空间（输出形式如：{Φ,e1e4e3,e2e5e3,e1e4e5e2})。
求此生成树对应的基本割集系统（输出形式如：{{e1,e4},{e2,e5},{e3,e4,e5}})。
求此生成树对应的断集空间（输出形式如：{Φ, {e1,e4}, {e2,e5}, {e3,e4,e5}, {e1,e2,e4,e5}, {e1,e3,e5}, {e2,e3,e4}, {e1,e2,e3}})。

四、实验步骤和内容

需求分析：

给定相邻矩阵，求关联矩阵，生成树个数，输出其中任意一颗生成树的相邻矩阵和关联矩阵。

求此生成树对应的基本回路系统，环路空间

求此生成树对应的基本割集系统，断集空间

输入形式与输入范围

预设输入点范围 : 0 < n < 999 0<n<999 0<n<999

邻接矩阵的边数： 0 < m < 99 9 2 0<m<999^2 0<m<9992

输入形式: 相邻矩阵如：

0 1 1 0 1
1 0 1 0 1
1 1 0 1 0
0 0 1 0 1
1 1 0 1 0

输出：

示例：

0 1 1 0 1
1 0 1 0 1
1 1 0 1 0
0 0 1 0 1
1 1 0 1 0e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7
v1 1  1  1  0  0  0  0
v2 1  0  0  1  1  0  0
v3 0  1  0  1  0  1  0
v4 0  0  0  0  0  1  1
v5 0  0  1  0  1  0  1  生成树的个数为：24它的一棵树为：V1 V2 V3 V4 V5
V1  0  1  1  0  1
V2  1  0  0  0  0
V3  1  0  0  1  0
V4  0  0  1  0  0
V5  1  0  0  0  0 e1 e2 e3 e4
v1 1  1  1  0
v2 1  0  0  0
v3 0  1  0  1
v4 0  0  0  1
v5 0  0  1  0  基本回路系统:{e4e2e1, e5e3e1, e7e3e2e6, }
环路空间:{ Φ,e1e2e4,e1e3e5,e2e3e6e7,e2e3e4e5,e1e3e4e6e7,e1e2e5e6e7,e4e5e6e7,}基本割集系统:{e4e5e1,e4e5e7e2,e4e5e7e3,e4e5e7e6,}
断集空间{ Φ,e1e4e5,e2e4e5e7,e3e4e5e7,e4e5e6e7,e1e2e7,e1e3e7,e1e6e7,e2e3,e2e6,e3e6,e1e2e3e4e5,e1e2e4e5e6,e1e3e4e5e6,e2e3e4e5e6e7,e1e2e3e6e7,}

概要设计：

使用的数据结构与算法：

关联矩阵、相邻矩阵、广度优先遍历、深度优先遍历、矩阵树定理(Matrix-Tree 定理)求生成树个数、分治思想

程序流程：

读入相邻矩阵
根据相邻矩阵，求出邻接矩阵sq2，基尔霍夫矩阵K。
输出邻接矩阵
根据基尔霍夫矩阵和矩阵树定理求出生成树个数gauss( )。
printTree( )函数中用广度优先遍历求出生成树，xl为树的相邻矩阵，gl为树的邻接矩阵
求基本回路系统和环路空间printSystem()。求基本回路系统方法：枚举每一条弦，如果把它加到树中，就会有且只有一条回路，该回路就是一条基本回路。求环路空间方法，深度优先搜索，枚举所有情况，进行对称差运算。
求基本割集系统，断集空间printSystem2()。求基本割集系统：枚举每一条树枝，找到该树枝对应的边割集，该割集就是一个基本割集。求断集空间方法，同上，深度优先搜索，枚举所有情况，进行对称差运算。

详细代码

#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <sstream>
#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;
int sq[1000][1000];    //相邻矩阵
int sq2[1000][10000],edx=0,eedx=0;   //邻接矩阵
int edge[1000][1000];    //边编号
int c[1000][1000];
int xl[1000][1000];    //树的相邻矩阵
int gl[1000][1000];   //树的邻接矩阵
bool st[1000];     //是否遍历到
int wsz[1000];  //方便计算对称差
int K[1000][1000];  //生成树个数
vector<vector<int>> baseC;   //基本回路系统
vector<vector<int>> baseG;   //基本割集系统
int sz=0;
const int MOD = 0x3f3f3f3f;
int gauss(int n) {//求矩阵K的n-1阶顺序主子式int res = 1;for (int i = 1; i <= n - 1; i++) {//枚举主对角线上第i个元素for (int j = i + 1; j <= n - 1; j++) {//枚举剩下的行while (K[j][i]) {//辗转相除int t = K[i][i] / K[j][i];for (int k = i; k <= n - 1; k++)//转为倒三角K[i][k] = (K[i][k] - t * K[j][k] + MOD) % MOD;swap(K[i], K[j]);//交换i、j两行res = -res;//取负}}res = (res * K[i][i]) % MOD;}return (res + MOD) % MOD;
}void print_sq(){cout<<"  ";for(int i=1;i<=edx;i++){cout<<"e"<<i<<" ";}cout<<endl;for(int i=1;i<=sz;i++){cout<<"v"<<i<<" ";for(int j=1;j<=edx;j++){if(sq2[i][j]) cout<<1;else cout<<0;cout<<"  ";}cout<<endl;}
}void printTree(){bool st[1000];memset(xl,0,sizeof xl);memset(st,0,sizeof st);memset(gl,0,sizeof gl);queue<int> Q;Q.push(1);st[1]= true;while(!Q.empty()){int nw=Q.front();Q.pop();for(int i=1;i<=sz;i++){if(!st[i]&&sq[nw][i]){xl[nw][i]=xl[i][nw]=1;Q.push(i);st[i]= true;}}}cout<<"\n它的一棵树为：\n";printf("   ");for(int i=1;i<=sz;i++){printf("V%d ",i);}cout<<endl;for(int i=1;i<=sz;i++){printf("V%d ",i);for(int j=1;j<=sz;j++){printf(" %d ",xl[i][j]);}cout<<endl;}cout<<endl;edx=0;for(int i=1;i<=sz;i++){for(int j=i+1;j<=sz;j++){if(xl[i][j]){++edx;gl[i][edx]=gl[j][edx]=1;}}}cout<<"  ";for(int i=1;i<=edx;i++){cout<<"e"<<i<<" ";}cout<<endl;for(int i=1;i<=sz;i++){cout<<"v"<<i<<" ";for(int j=1;j<=edx;j++){if(gl[i][j]) cout<<1;else cout<<0;cout<<"  ";}cout<<endl;}
}
void bfs(int x,int y){queue<int> Q;vector<int> tmp;bool st[1000];int fa[1000];memset(fa,0,sizeof fa);memset(st,0,sizeof st);Q.push(x);st[x]= true;fa[x]=-1;tmp.push_back(edge[x][y]);while(!Q.empty()){int nw=Q.front();Q.pop();for(int i=1;i<=sz;i++){if(!st[i]&&xl[nw][i]){xl[nw][i]=xl[i][nw]=1;Q.push(i);fa[i]=nw;st[i]= true;}}if(st[y]) break;}int nw=y;while(nw!=x){tmp.push_back(edge[nw][fa[nw]]);cout<<"e"<<edge[nw][fa[nw]];nw=fa[nw];}baseC.push_back(tmp);
}
void dfs(int nub,int idx,int type){      //枚举对称差if(nub==0){for(int i=1;i<=eedx;i++){if(wsz[i]%2)cout<<"e"<<i;}cout<<",";return;}if(idx==baseC.size()&&type==1) return;if(idx==baseG.size()&&type!=1) return;if(type==1){for(int j=0;j< baseC[idx].size() ;j++)  wsz[ baseC[idx][j] ]++;dfs(nub-1,idx+1,1);    //选第idx个基本回路for(int j=0;j<baseC[idx].size();j++)  wsz[baseC[idx][j]]--;dfs(nub,idx+1,1);}else{for(int j=0;j<baseG[idx].size();j++)  wsz[baseG[idx][j]]++;dfs(nub-1,idx+1,2);for(int j=0;j<baseG[idx].size();j++)  wsz[baseG[idx][j]]--;dfs(nub,idx+1,2);}
}
void printSystem(){int base=0;cout<<"\n基本回路系统:{";for(int i=1;i<=sz;i++){for(int j=i+1;j<=sz;j++){if(sq[i][j]&&!xl[i][j]){cout<<"e"<<edge[i][j];bfs(i,j); //2 4 / 3 4cout<<", ";base++;}}}memset(wsz,0,sizeof wsz);cout<<"}\n环路空间:{ Φ,";for(int i=1;i<=baseC.size();i++){dfs(i,0,1);}cout<<"}\n";
}
void gogo(int x){if(st[x]) return;st[x]= true;for(int i=1;i<=sz;i++){if(sq[x][i]) gogo(i);}
}
vector<int> tmp;
bool wzy(int n){if(n==0){for(int i=0;i<=sz;i++) st[i]=0;gogo(1);for(int i=1;i<=sz;i++)if(!st[i]){baseG.push_back(tmp);return true;}return false;}for(int i=1;i<=sz;i++){for(int j=i+1;j<=sz;j++){if(sq[i][j]&&!xl[i][j]){sq[i][j]=sq[j][i]=0;tmp.push_back(edge[i][j]);bool rt=wzy(n-1);tmp.pop_back();sq[i][j]=sq[j][i]=1;return rt;}}}
}
void printSystem2(){int base=0;cout<<"\n基本割集系统:{";for(int i=1;i<=sz;i++){for(int j=i+1;j<=sz;j++){if(xl[i][j]){sq[j][i]=sq[i][j]=0;tmp.clear();for(int k=1;;k++){if(wzy(k)){break;}}baseG[baseG.size()-1].push_back(edge[i][j]);sq[j][i]=sq[i][j]=1;}}}for(int i=0;i<baseG.size();i++){for(int j=0;j<baseG[i].size();j++){cout<<"e"<<baseG[i][j];}cout<<",";}cout<<"}\n断集空间{ Φ,";memset(wsz,0,sizeof wsz);for(int i=1;i<=baseG.size();i++){dfs(i,0,2);}cout<<"}\n";
}
int main() {string str;getline(cin,str);while(str!="\0"){stringstream ss(str);sz++;for(int j=1;!ss.eof();j++){ss>>sq[sz][j];}getline(cin,str);}for(int i=1;i<=sz;i++){for(int j=i+1;j<=sz;j++){if(sq[i][j]){++edx;++eedx;edge[i][j]=edge[j][i]=edx;sq2[i][edx]=sq2[j][edx]=1;K[i][i]++;K[j][j]++;K[i][j]--;K[j][i]--;}}}print_sq();cout<<endl<<"生成树的个数为："<<gauss(sz)<<endl;if(!gauss(sz)) return 0;printTree();printSystem();printSystem2();return 0;
}

调试分析

调试过程中所遇到的问题及解决方法

一切正常

算法的时空分析

求邻接矩阵，基尔霍夫矩阵，求生成树 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)

Matrix-Tree 定理(求矩阵行列式) O ( n 4 ) O(n^4) O(n4)

基本回路系统 O ( n 3 ) O(n^3) O(n3)

基本割集系统 O ( n 4 ) O(n^4) O(n4)

求断集空间，环路空间 O ( 2 n ) O(2^n) O(2n)

五、实验结果

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-Q7ioy7pe-1654332805884)(/Users/a26012/Desktop/截屏2021-12-23 15.34.55.png)]

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-X0JRu0BA-1654332805885)(/Users/a26012/Desktop/截屏2021-12-23 15.35.15.png)]

六、实验总结

心得体会：

对无向连通图生成树的求解方法，基本回路系统和环路空间的求解方法，基本割集系统和断集空间的求解方法有了更深的理解，了解生成树、环路空间和断集空间的实际应用。很好的锻炼了代码能力，吸收了许多教训，学到了编程中的许多知识，非常有用。
可能是因为这个实验比较难，有一些同学借鉴了我的代码。

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