离散数学实验一——关系

一、预习内容：

1、自反性：从给定的关系矩阵来断判关系R是否为自反是很容易的。若M（R的关系矩阵）的主对角线元素均为1，则R是自反关系；若M（R的关系矩阵）的主对角线元素均为0，则R是反自反关系；若M（R的关系矩阵）的主对角线元素既有1又有0，则R既不是自反关系也不是反自反关系。本算法可以作为判等价关系算法的子程序给出。
2、对称性：从给定的关系矩阵来判断关系R是否为对称是很容易的。若M（R的关系矩阵）为对称矩阵，则R是对称关系；若M为反对称矩阵，则R是反对称关系。因为R为对称的是等价关系的必要条件，所以，本算法可以作为判等价关系算法的子程序给出。
3、传递性：从给定的关系矩阵来断判关系R是否为传递是很容易的。若M（R的关系矩阵）为传递矩阵，则R是传递关系；若M为非传递矩阵，则R是非传递关系；本算法可以作为判等价关系算法的子程序给出。

二、实验目的与要求（及主要实验仪器、设备）：

1.通过实验，帮助学生更好地掌握计算机科学技术常用的离散数学中的概念、性质和运算；
2. 通过实验提高学生编写实验报告、总结实验结果的能力；
3. 使学生具备程序设计的思想，能够独立完成简单的算法设计和分析。
实验环境：软件：vc++6.0 ，硬件：电脑

三、实验原理（方法与与原理分析）：

1 自反性定义
（1）若, 则称R在A上是自反的。
（2）若,则称R在A上是反自反的。
2 对称性定义
设R为A上的二元关系，
（1）若,则称R为A上的对称关系
(2) 若,则称R为A上的反对称关系
3 传递性定义
设R为A上的二元关系，若 ,则称R为A上的传递关系

四、实验步骤（程序代码与实验过程）：

#include<iostream.h>
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<conio.h>
#include<string.h>
#define M 100
char get_element(char p)//输入结点序列函数
{
printf(“输入集合的元素(不能有空格):”);
gets§;
fflush(stdin);
return p;
}
int get_position(char ch,char point){
int i;
for(i=0;(point+i);i++)
if((point+i)ch)
return i;
return 0;
}
void get_relation(int (a)[M],char p)
{
int k1,k2;
char ch1,ch2;
printf("输入关系的各个序偶(以<,>时结束):\n");
while(1)
{
printf("<");
ch1=getche();
printf(",");
ch2=getche();
printf(">\n");
if(ch1’’)break;
k1=get_position(ch1,p);
k2=get_position(ch2,p);
a[k1][k2]=1;
}
}
void output_relat_array(int (*a)[M],int arry_w)//输出关系矩阵
{
int i,j;
for(i=0;i<arry_w;i++)
{
for(j=0;j<arry_w;j++)
printf("%4d",a[i][j]);
printf("\n");
}
}
void output_relate(int (*a)[M],int arry_w,char *p)
//关系矩阵中如果有元素为1，则根据该序号去结点序列中查找其相应结点
{
int i,j;
int count=0;

printf("{");
for(i=0;i<arry_w;i++)for(j=0;j<arry_w;j++)if(a[i][j]==1){ printf("<%c,%c>,",*(p+i),*(p+j));count++;}
printf("\b}");
printf("\n");

}

int ZF(int (*a)[M],int n)
{
int flag1 = 1;
for(int i = 0; i <n; i++)
//只要有一个对角元素为0就不具有自反性
{
if(!a[i][i])
{
flag1 = 0;
break;
}
}
return flag1;
}
int FZF(int (*a)[M],int n) //反自反
{
int flag2 = 1;
for(int i = 0; i < n; i++)
{
//只要有一个对角元素为1就不具有反自反性
if(a[i][i])
{
flag2 = 0;
break;
}
}
return flag2;
}

int DC(int (*a)[M],int n) //对称
{
int flag3 = 1;
for(int i = 0; i < n; i++)
for(int j = 0; j < n; j++)
{ //矩阵中对称元素都相等则具有对称性
if(a[i][j] != a[j][i])
flag3 = 0;
break;
}
return flag3;
}
int FDC(int (*a)[M],int n) //反对称
{
int flag4 = 1;
for(int i = 0; i < n; i++)
for(int j = 0; j < n; j++)
//矩阵中对称元素中有相等的1则不具有反对称性
if(a[i][j] && a[i][j] == a[j][i] && i != j)
{
flag4 = 0;
break;
}
return flag4;
}
int CD(int (*a)[M],int n) //传递
{
int flag5 = 1;
for(int i = 0; i < n; i++)
for(int j = 0; j < n; j++)
for(int k = 0; k < n; k++)
//判断是否满足传递关系
if(a[i][j] && a[j][k] && !a[i][k])
{
flag5 = 0;
break;
}
return flag5;
}
int main()
{
int a[M][M]={0};
char point[M];
int stlen;
char *p;
p=get_element(point);//输入结点p取得其起始位置
stlen=strlen(point);
get_relation(a,p);//根据输入的关系的序偶构建关系矩阵a
output_relate(a,stlen,p);
printf("\n关系矩阵为：\n");
output_relat_array(a,stlen);
cout<<“该关系具有的性质:”<<endl;
if(ZF(a,stlen))
{
cout<<“自反性”<<endl;
}

if(FZF(a,stlen)){cout<<"反自反性"<<endl;}
if(DC(a,stlen))
{cout<<"对称性"<<endl;
}
if(FDC(a,stlen))
{cout<<"反对称性"<<endl;
}
if(CD(a,stlen))
{cout<<"传递性"<<endl;
}
return 0;

}

五、实验结果（数据分析与结论）：

六、问题讨论：

问：自反，反自反，对称，反对称，传递都有什么特点？
答：1.自反，就是如果集合A中的每个元素x，都有xRx，也就是说，这些关系里，a = b的个数应该是A.size()个。
2.反自反，就是集合中的每个元素都没有xRx，也就是说，再没有一个是a，b相同的。
3.对称，就是如果有关系<a, b>，一定有关系<b, a>（a ≠ b）
4.反对称，就是如果有关系<a, b>，就一定没有关系<b，a>（a ≠ b）
5.传递，就是如果有关系<a, b>, <b, c>，那么一定有<a, c>