〇、写在前面
一、频率特性
- 1.1 线性系统的频率特性
- 1.2 不同算法之间的联系
二、奈氏图
- 2.1 绘制开环幅相曲线
- 2.2 奈氏图利用
三、伯德图
- 3.1 开环对数频率特性曲线
- 3.2 绘制
- 3.3 举例
- 3.4 谐振现象
- 3.5 伯德图辨识
四、奈氏判据
- 4.1 奈氏判据
- 4.2 正穿越和负穿越
五、稳定裕度
- 5.1 相角裕度
- - 5.1.1 定义
  - 5.1.2 相角裕度的频率特性意义
  - 5.1.3 计算相角裕度
- 5.2 幅值裕度
- - 5.2.1 定义
  - 5.2.2 幅值裕度的频率特性意义
  - 5.2.3 计算幅值裕度

〇、写在前面

往期文章传送门：
拉氏变换
控制系统的数学模型
时域分析法
根轨迹的绘制
根轨迹法分析系统性能
本文定位：复习

一、频率特性

1.1 线性系统的频率特性

仍然考虑RC电路为例：

由控制系统的数学模型所讲内容可知，系统的输入输出关系为：TduOdt+uO=uiT\frac{du_O}{dt}+u_O=u_iTdtduO+uO=ui于是传递函数表示为：G(s)=1Ts+1G(s)=\frac{1}{Ts+1}G(s)=Ts+11先前我们讨论了输入为阶跃信号、斜坡信号等输入时的响应。现在，如果我们将电路接入交流电，使得输入ui=Asin(ωt)u_i=Asin(\omega t)ui=Asin(ωt)，并使 uOu_OuO 的初始值为 uO0u_{O_0}uO0，则UO(s)=1Ts+1[Ui(s)+TuO0]=1Ts+1[Aωs2+ω2+TuO0]U_O(s)=\frac{1}{Ts+1}[U_i(s)+Tu_{O_0}]=\frac{1}{Ts+1}[\frac{A\omega}{s^2+\omega^2}+Tu_{O_0}]UO(s)=Ts+11[Ui(s)+TuO0]=Ts+11[s2+ω2Aω+TuO0]反拉氏变换得：uo(t)=(uO0+AωT1+T2ω2)e−tT+A1+T2ω2sin(ωt−arctanωT)u_o(t)=(u_{O_0}+\frac{A\omega T}{1+T^2\omega^2})\text e^{-\frac{t}{T}}+\frac{A}{\sqrt{1+T^2\omega^2}}sin(\omega t-arctan\omega T)uo(t)=(uO0+1+T2ω2AωT)e−Tt+1+T2ω2Asin(ωt−arctanωT)所以：lim⁡t→∞uo=A1+T2ω2sin(ωt−arctanωT)\lim_{t \to \infty}u_{o}=\frac{A}{\sqrt{1+T^2\omega^2}}sin(\omega t-arctan\omega T)t→∞limuo=1+T2ω2Asin(ωt−arctanωT)可以看出，稳态输出幅值为：A(ω)=A1+T2ω2A(\omega)=\frac{A}{\sqrt{1+T^2\omega^2}}A(ω)=1+T2ω2A稳态输出相位为：ϕ(ω)=−arctanωT\phi(\omega)=-arctan\omega Tϕ(ω)=−arctanωT其中，负号表示滞后。

从这两个式子可以看出，输出响应的幅值和相位是频率 ω\omegaω 的函数。
由此可以引出频率特性定义：
输出信号与输入信号的傅氏变换之比成为频率特性，其中，输出与输入同频谐波分量幅值与输入幅值之比成为幅频特性，输出与输入同频谐波分量与输入信号相位差 ϕ(ω)\phi(\omega)ϕ(ω) 叫相频特性，并且规定，当 ϕ(ω)<0\phi(\omega)<0ϕ(ω)<0 时，称之为输出滞后，否则称之为输出超前。用公式表述为：A(ω)=∣Xc(jω)Xr(jω)∣=Re2+Im2A(\omega)=\lvert\frac{X_c(j\omega)}{X_r(j\omega)}\rvert=\sqrt{Re^2+Im^2}A(ω)=∣Xr(jω)Xc(jω)∣=Re2+Im2ϕ(ω)=∠Xc(jω)Xr(jω)=arctanImRe\phi(\omega) = \angle\frac{X_c(j\omega)}{X_r(j\omega)}=arctan\frac{Im}{Re}ϕ(ω)=∠Xr(jω)Xc(jω)=arctanReIm

1.2 不同算法之间的联系

微分方程—拉氏变换—>传递函数—反拉氏变换—>微分方程—傅氏变换—>频率特性
传递函数—令s=jw—>频率特性—辨识—>传递函数

二、奈氏图

2.1 绘制开环幅相曲线

例：已知：G(s)H(s)=10s(s+1)(10s+5)G(s)H(s)=\frac{10}{s(s+1)(10s+5)}G(s)H(s)=s(s+1)(10s+5)10绘制其奈氏图。
解：【这个绘制奈氏图，胡寿松课本上写的方法是将其分解为若干典型环节，然后判定每个环节的幅相情况，从而判断整体情况。这里我写了一种直接判定的方法，无需分解各个环节，过程长一些，但不需要记忆各个环节，而且每个式子表示的意义也很明显。】
首先写在前面，复习一个复变函数里的知识点，两个复数相乘得到结果的模等于两个复数模的成积，该结果的幅角等于两个幅角的和；两个复数相除的结果的模等于两个复数模相除，结果的幅角等于两个复数幅角的差。
化为尾一标准型，然后令 s=jωs=j\omegas=jω，得：G(jω)H(jω)=2jω(jω+1)(2jω+1)G(j\omega)H(j\omega)=\frac{2}{j\omega(j\omega+1)(2j\omega+1)}G(jω)H(jω)=jω(jω+1)(2jω+1)2
当 ω=0\omega=0ω=0 时（这个0不是0+，而是真正的0），∣G(0)H(0)∣=∞|G(0)H(0)|=\infty∣G(0)H(0)∣=∞∠G(0)H(0)=0−0−0−0=0\angle G(0)H(0)=0-0-0-0=0∠G(0)H(0)=0−0−0−0=0关于这个相角为什么这样写，你看，分子是2吧，2在复平面上的点是（2,0），所以角度是0，分母上第一个因式是jw，当w=0的时候，对应在复平面上坐标是（0,0），也就是原点，所以角度是0，第二个因式（jw+1）当w=0的时候，对应在复平面上坐标是（1,0），所以角度是0，第三个因式（2jw+1）当w=0时，对应复平面上点是（1,0），所以角度是0。这三个都在分母上，所以是0-0-0-0=0。

当 ω=0+\omega=0^+ω=0+ 时，∣G(0+)H(0+)∣=lim⁡ω→0+2ω1+ω21+4ω2=∞|G(0^+)H(0^+)|=\lim_{\omega\to0^+}{\frac{2}{\omega\sqrt{1+\omega^2}\sqrt{1+4\omega^2}}}=\infty∣G(0+)H(0+)∣=ω→0+limω1+ω21+4ω22=∞∠G(0+)H(0+)=lim⁡ω→0+(0−π2−arctanω−arctan2ω)=0−π2=−π2\angle G(0^+)H(0^+)=\lim_{\omega\to0^+}{(0-\frac{\pi}{2}-arctan\omega-arctan2\omega)}=0-\frac{\pi}{2}=-\frac{\pi}{2}∠G(0+)H(0+)=ω→0+lim(0−2π−arctanω−arctan2ω)=0−2π=−2π当 ω=∞\omega=\inftyω=∞ 时，∣G(∞)H(∞)∣=lim⁡ω→∞2ω1+ω21+4ω2=0|G(\infty)H(\infty)|=\lim_{\omega\to\infty}{\frac{2}{\omega\sqrt{1+\omega^2}\sqrt{1+4\omega^2}}}=0∣G(∞)H(∞)∣=ω→∞limω1+ω21+4ω22=0∠G(∞)H(∞)=lim⁡ω→∞(0−π2−arctanω−arctan2ω)=−3π2\angle G(\infty)H(\infty)=\lim_{\omega\to\infty}{(0-\frac{\pi}{2}-arctan\omega-arctan2\omega)}=-\frac{3\pi}{2}∠G(∞)H(∞)=ω→∞lim(0−2π−arctanω−arctan2ω)=−23π
对传递函数，令 s=jωs=j\omegas=jω 得：G(jω)H(jω)=2jω(1−jω)(1−2jω)−ω2(1+ω2)(1+4ω2)=2(jω+3ω2−2jω3)−ω2(1+ω2)(1+4ω2)=2(3ω2+ω(1−2ω2)j)−ω2(1+ω2)(1+4ω2)G(j\omega)H(j\omega)=\frac{2j\omega(1-j\omega)(1-2j\omega)}{-\omega^2(1+\omega^2)(1+4\omega^2)}=\frac{2(j\omega+3\omega^2-2j\omega^3)}{-\omega^2(1+\omega^2)(1+4\omega^2)}=\frac{2(3\omega^2+\omega(1-2\omega^2)j)}{-\omega^2(1+\omega^2)(1+4\omega^2)}G(jω)H(jω)=−ω2(1+ω2)(1+4ω2)2jω(1−jω)(1−2jω)=−ω2(1+ω2)(1+4ω2)2(jω+3ω2−2jω3)=−ω2(1+ω2)(1+4ω2)2(3ω2+ω(1−2ω2)j)令 Im[G(jω)(jω)]=0Im[G(j\omega)(j\omega)]=0Im[G(jω)(jω)]=0 得：ωx=2rad/s\omega_x=\sqrt2\text{ rad/s}ωx=2 rad/s 因此，在 ω>0\omega>0ω>0 范围内，穿过一次实轴。

可以看出，ω=0+\omega=0^+ω=0+ 时，Re[G(jω)(jω)]<0Re[G(j\omega)(j\omega)]<0Re[G(jω)(jω)]<0，因此奈氏图草图可以画为：
（注：这是草图，能表示出相角变化，ωx\omega_xωx，走向等重要信息即可，不要求与原图一模一样）

有些书上草图也这样画：

用matlab写入以下程序，可以用计算机得到精准曲线：

sys = zpk([],[0 -1 -0.5],1)
nyquist(sys)

2.2 奈氏图利用

如：奈氏判据（见第四节）

三、伯德图

3.1 开环对数频率特性曲线

伯德图是开环对数频率特性曲线，横坐标是频率的对数值，因此是十倍频等间距。实际的开环对数频率特性曲线是光滑弯曲的，我们画伯德图的时候是用直线作为渐近线去代替。

典型环节包括三部分：
（1）Ksν\frac{K}{s^\nu}sνK 或 −Ksν-\frac{K}{s^\nu}−sνK (K>0)(K>0)(K>0)
（2）一阶环节：包括惯性环节、一阶微分环节，其交接频率 ω=1T\omega=\frac{1}{T}ω=T1
（3）二阶环节：包括振荡环节、二阶微分环节，其交接频率 ω=ωn\omega=\omega_nω=ωn

3.2 绘制

对传递函数进行了典型环节分解，并化为尾一标准型。
确定各个环节交接频率和系统型别（积分环节个数，也即在原点处的极点的个数）。
低频段：
（1）低频段直线斜率：−20νdB/dec-20\nu \text{ dB/dec}−20ν dB/dec
（2）低频段（或延长线）过定点：(1,20lg⁡K)(1,20\lg{K})(1,20lgK)
的越过低频段后，每到一次交接频率，直线斜率变化一次，变化规则如下：

典型环节	交接频率	斜率变化
11±Ts\frac{1}{1\pm Ts}1±Ts1	1T\frac{1}{T}T1	-20dB/dec
1±Ts1\pm Ts1±Ts	1T\frac{1}{T}T1	20dB/dec
s2ωn2±2ζsωn+1\frac{s^2}{\omega_n^2\pm2\zeta\frac{s}{\omega_n}+1}ωn2±2ζωns+1s2	ωn\omega_nωn	-40dB/dec
ωn2±2ζsωn+1\omega_n^2\pm2\zeta\frac{s}{\omega_n}+1ωn2±2ζωns+1	ωn\omega_nωn	40dB/dec

相频特性一般通过描点，然后用平滑的曲线连接的方法来描绘。

3.3 举例

已知单位负反馈系统开环传递函数：G(s)=100(0.1s+1)s(0.2s+1)(0.01s+1)G(s)=\frac{100(0.1s+1)}{s(0.2s+1)(0.01s+1)}G(s)=s(0.2s+1)(0.01s+1)100(0.1s+1)绘制伯德图。

解：可以看出，系统已经进行了典型环节分解，并化为了尾一标准型。

这个系统是一型系统，所以低频段斜率是 -20dB/dec。
系统增益 K=100K=100K=100，所以低频段（或延长线）过 (1,20lg⁡100)=(1,40)(1,20\lg100)=(1,40)(1,20lg100)=(1,40)

交接频率 ω1=10.2=5rad/s，ω2=10.1=10rad/s，ω3=10.01=100rad/s\omega_1=\frac{1}{0.2}=5\text{ rad/s}，\omega_2=\frac{1}{0.1}=10\text{ rad/s}，\omega_3=\frac{1}{0.01}=100\text{ rad/s}ω1=0.21=5 rad/s，ω2=0.11=10 rad/s，ω3=0.011=100 rad/s。所以在 ω1\omega_1ω1 处，对应 10.2s+1\frac{1}{0.2s+1}0.2s+11 斜率降低 20dB/dec；在 ω2\omega_2ω2 处，对应 0.1s+10.1s+10.1s+1，斜率升高 20dB/dec；在 ω3\omega_3ω3 处，对应 10.01s+1\frac{1}{0.01s+1}0.01s+11 ，斜率降低 20dB/dec

所以画出对数频率特性曲线如下：

我们用matlab试一下：

sys = zpk([-10],[0,-5,-100],100)
bode(sys)

得到结果：

3.4 谐振现象

谐振是当频率满足一定条件时，系统表现出来的一种特殊现象。比如在RLC电路中，并联谐振时，感性和容性相抵，输出信号幅值达到最大值。

对于二阶系统，谐振满足：
峰值：Mr=12ζ1−ζ2(ζ≤0.707)M_r=\frac{1}{2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}}(\zeta\leq0.707)Mr=2ζ1−ζ21(ζ≤0.707)
谐振频率：ωr=ωn1−2ζ2\omega_r=\omega_n\sqrt{1-2\zeta^2}ωr=ωn1−2ζ2
带宽频率：ωb=ωn1−2ζ2+2−4ζ2+4ζ4\omega_b=\omega_n\sqrt{1-2\zeta^2+\sqrt{2-4\zeta^2+4\zeta^4}}ωb=ωn1−2ζ2+2−4ζ2+4ζ4
截止频率：ωc=ωn1+4ζ4−2ζ2\omega_c=\omega_n\sqrt{\sqrt{1+4\zeta^4}-2\zeta^2}ωc=ωn1+4ζ4−2ζ2
相角裕度：γ=arctan⁡2ζ1+4ζ4−2ζ2\gamma=\arctan\frac{2\zeta}{\sqrt{\sqrt{1+4\zeta^4}-2\zeta^2}}γ=arctan1+4ζ4−2ζ22ζ
超调量：σ%=e−πζ1−ζ2×100%\sigma\%=\text{e}^{-\pi\zeta\sqrt{1-\zeta^2}}\times100\%σ%=e−πζ1−ζ2×100%
调节时间：ts=3.5ζωn(Δ=0.05)t_s=\frac{3.5}{\zeta\omega_n}(\Delta=0.05)ts=ζωn3.5(Δ=0.05)
伯德图上，如果系统在转折处出现类似这样的转折点：

说明在二阶环节处发生谐振，该点满足：±20lg⁡2ζ1−ζ2=真值−渐近线值\pm20\lg{2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}}=真值-渐近线值±20lg2ζ1−ζ2=真值−渐近线值

如果出现：

说明在一阶环节处滤波，满足：
±20lg⁡ζ=真值−渐近线值\pm20\lg\zeta=真值-渐近线值±20lgζ=真值−渐近线值

3.5 伯德图辨识

本质上就是画伯德图的思路反过来，从伯德图中读出转折频率，系统型别，开环增益，典型环节等信息。

型别：通过低频段斜率读出，低频段斜率为−20ν-20\nu−20ν
开环增益：低频段通过（或其延长线通过）(1,20lg⁡K)(1,20\lg K)(1,20lgK)
典型环节：通过斜率增减20还是40来判断是几阶环节
转折频率：通过读出转折点处的频率值，进而算出一阶环节的时间常数 TTT 或者二阶环节的固有频率 ωn\omega_nωn
转折频率有时候要结合几何关系，主要是三角形的关系，比如斜边斜率、相似、勾股定理等，注意频率要取对数。

如有以下系统：

可以看出，低频段斜率为0，因此是0型系统，系统有一个一阶微分环节，四个一阶惯性环节，在一阶微分环节处，转折频率是0.1rad/s，因此时间常数是10s。低频段延长线过 (1,30)(1,30)(1,30)，所以20lg⁡K=3020\lg K=3020lgK=30解得：K=31.6K=31.6K=31.6
系统传递函数可以设为：W(s)=31.6(10s+1)(sω1+1)(sω2+1)(sω3+1)(sω4+1)W(s)=\frac{31.6(10s+1)}{(\frac{s}{\omega_1}+1)(\frac{s}{\omega_2}+1)(\frac{s}{\omega_3}+1)(\frac{s}{\omega_4}+1)}W(s)=(ω1s+1)(ω2s+1)(ω3s+1)(ω4s+1)31.6(10s+1)
然后：
{20=40−30lg⁡ω1−lg⁡0.1−20=20−40lg⁡ω3−lg⁡ω2−40=5−20lg⁡ω4−lg⁡ω3\left\{ \begin{array}{c} 20=\frac{40-30}{\lg\omega_1-\lg0.1} \\ \\ -20=\frac{20-40}{\lg\omega_3-\lg\omega_2} \\ \\ -40=\frac{5-20}{\lg\omega_4-\lg\omega_3} \\ \end{array} \right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧20=lgω1−lg0.140−30−20=lgω3−lgω220−40−40=lgω4−lgω35−20
解得：
{ω1=0.316rad/sω2=3.48rad/sω3=34.8rad/sω4=82.6rad/s\left\{ \begin{array}{c} \omega_1=0.316\space \text{rad/s} \\ \\ \omega_2=3.48\space \text{rad/s} \\ \\ \omega_3=34.8\space \text{rad/s} \\ \\ \omega_4=82.6\space \text{rad/s} \\ \end{array} \right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧ω1=0.316 rad/sω2=3.48 rad/sω3=34.8 rad/sω4=82.6 rad/s
∴W(s)=31.6(10s+1)(s0.316+1)(s3.48+1)(s34.8+1)(s82.6+1)\therefore W(s)=\frac{31.6(10s+1)}{(\frac{s}{0.316}+1)(\frac{s}{3.48}+1)(\frac{s}{34.8}+1)(\frac{s}{82.6}+1)}∴W(s)=(0.316s+1)(3.48s+1)(34.8s+1)(82.6s+1)31.6(10s+1)

四、奈氏判据

4.1 奈氏判据

判据： Z=P−R=P−2N=P−2(N+−N−)Z=P-R=P-2N=P-2(N_+-N_-)Z=P−R=P−2N=P−2(N+−N−)
稳定条件：Z=0⇔P=2(N+−N−)Z=0\Leftrightarrow P=2(N_+-N_-)Z=0⇔P=2(N+−N−)
PPP：开环传递函数具有正实部的极点数
RRR：奈奎斯特图中，半闭合曲线 ΓGH\Gamma_{GH}ΓGH（2.1中实线）包围原点的圈数。
NNN：奈氏图中半闭合曲线 ΓGH\Gamma_{GH}ΓGH 穿越 (−1,j0)(-1,j0)(−1,j0) 点左侧实轴的次数。
N+N_+N+：(−1,j0)(-1,j0)(−1,j0) 点左侧，正穿越次数，即半闭合曲线从上往下穿过实轴的次数。
N−N_-N−：(−1,j0)(-1,j0)(−1,j0) 点左侧，负穿越次数，即半闭合曲线从下往上穿过实轴的次数。

4.2 正穿越和负穿越

上图展示的几个情况中：
（1）图1：交点在 (−1,j0)(-1,j0)(−1,j0) 点左侧，顺时针运行，所以负穿越1次，N−=1,N+=0N_-=1,N_+=0N−=1,N+=0
（2）图2：交点在 (−1,j0)(-1,j0)(−1,j0) 点右侧，从下到上顺时针运行，所以没有在 (−1,j0)(-1,j0)(−1,j0) 左侧的交点，因此正负穿越次数都记 0
（3）图3：三个交点，两个在 (−1,j0)(-1,j0)(−1,j0) 左侧，一个在右侧，从左向右运行，所以正负穿越各一次，N−=N+=1N_-=N_+=1N−=N+=1
（4）图4：两个交点，都在 (−1,j0)(-1,j0)(−1,j0) 左侧，顺时针运行，但一个交点停止于实轴，所以负穿越次数为1，正穿越次数为0.5，即 N−=1,N+=0.5N_-=1,N_+=0.5N−=1,N+=0.5

五、稳定裕度

5.1 相角裕度

5.1.1 定义

设 ωc\omega_cωc 为系统的截止频率，则 A(ωc)=∣G(jωc)H(jωc)∣=1A(\omega_c)=|G(j\omega_c)H(j\omega_c)|=1A(ωc)=∣G(jωc)H(jωc)∣=1，定义相角裕度：γ=π+∠G(jωc)H(jωc)\gamma=\pi+\angle G(j\omega_c)H(j\omega_c)γ=π+∠G(jωc)H(jωc)

5.1.2 相角裕度的频率特性意义

相角裕度的含义是：对于闭环稳定系统，如果开环相频特性再滞后 γ\gammaγ，则系统将处于临界稳定。

5.1.3 计算相角裕度

令 ∣G(jωc)H(ωc)∣=1|G(j\omega_c)H(\omega_c)|=1∣G(jωc)H(ωc)∣=1 求截止频率 ωc\omega_cωc
γ=π+∠G(jωc)H(jωc)\gamma=\pi+\angle G(j\omega_c)H(j\omega_c)γ=π+∠G(jωc)H(jωc)

5.2 幅值裕度

5.2.1 定义

设 ωx\omega_xωx 为系统穿越频率，则幅值裕度定义为：h=1/∣G(jωx)H(jωx)∣h=1/|G(j\omega_x)H(j\omega_x)|h=1/∣G(jωx)H(jωx)∣
对数坐标下，也定义为：h(dB)=−20lg⁡∣G(jωx)H(jωx)∣h(\text {dB})=-20\lg|G(j\omega_x)H(j\omega_x)|h(dB)=−20lg∣G(jωx)H(jωx)∣

5.2.2 幅值裕度的频率特性意义

幅值裕度的含义是：对于闭环稳定系统，如果开环幅频特性再增大 hhh 倍，则系统将处于临界稳定。

用一张图说明幅值裕度和相角裕度的意义。

5.2.3 计算幅值裕度

令 ∠G(jωc)H(ωc)=(2k+1)π\angle G(j\omega_c)H(\omega_c)=(2k+1)\pi∠G(jωc)H(ωc)=(2k+1)π 求穿越频率 ωx\omega_xωx
h=1/∣G(jωx)H(jωx)∣h=1/|G(j\omega_x)H(j\omega_x)|h=1/∣G(jωx)H(jωx)∣

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