实验一线性方程组迭代法实验.doc

实验一线性方程组迭代法实验一、实验目的1．掌握用迭代法求解线性方程组的基本思想和计算步骤；2．能熟练地写出JACOBI迭代法的迭代格式的分量形式，并能比较它们各自的特点及误差估计；3理解迭代法的基本原理及特点，并掌握JACOBI迭代GAUSSSEIDEL迭代和SOR迭代格式的分量形式、矩阵形式及其各自的特点；4掌握JACOBI迭代GAUSSSEIDEL迭代和SOR迭代算法的MATLAB程序实现方法,及了解松弛因子对SOR迭代的影响；5用SOR迭代法求解线性方程组时，超松弛因子的取值大小会对方程组的解造成影响，目的就是能够探索超松弛因子怎样对解造成影响，通过这个实验我们可以了解的大致取值范围。二、实验题目1、迭代法的收敛速度用迭代法分别对N20，N200解方程组AXB,其中NA4431515133551315513(1)选取不同的初值X0和不同的右端向量B，给定迭代误差，用两种迭代法计算，观测得到的迭代向量并分析计算结果给出结论；(2)取定初值X0和右端向量B，给定迭代误差，将A的主对角元成倍放大，其余元素不变，用JACOBI迭代法计算多次，比较收敛速度，分析计算结果并给出结论。2、SOR迭代法松弛因子的选取(1)给定迭代误差，选取不同的超松弛因子，从100到200，观察不同的松弛因子对解得影响。然后利用雅可比迭代求的的解与它们比较；(2)给定迭代误差，选取不同的低松弛因子，从100到200，观察不同的松弛因子对解得影响。然后利用雅可比迭代求的的解与它们比较。三、实验原理1、迭代法的收敛速度运用了JACOBI迭代，GAUSSSEIDEL迭代1)JACOBI迭代算法1取初始点X0,精度要求Ε，最大迭代次数N，置K0；2由，计算出X(K1)；N1I,XANIJ1,KJI1KI，，IA3若,则停算，输出XK1作为方程组的近似解；1KKX4若KN，则停算，输出迭代失败信息；否则置KK1，转步2。2)GAUSSSEIDEL迭代算法1输入矩阵A，右端向量B，初始点X0,精度要求Ε，最大迭代次数N，置K0；2计算NNIIAXNIA1NJ0J1IJN1J0J1N2J0J1XB,1,2,XBX3若，则停算，输出X作为方程组的近似解；04若KN，则停算，输出迭代失败信息；否则置X(0)X，KK1，转步骤2。2、SOR迭代法松弛因子的选取(1)逐次超松弛迭代法是GAUSSSEIDEL迭代法的加速。GAUSSSEIDEL迭代格式为XK1D1LXK1D1UXKD1B(2)SOR迭代格式为XK1(IWD1L)11WIWD1UXKWIWD1L1D1B其中，W叫做松弛因子，当W1时叫超松弛，当1W0时叫低松弛。W1是GAUSSSEIDEL迭代法；(3)SOR迭代法的算法输入矩阵A，向量B，初始点X0,精确度，最大迭代次数N，松弛因子的选取；进行迭代；判断迭代的情况。四、实验内容1、迭代法的收敛速度11实验步骤(1)打开MATLAB软件，新建一个M文件，编写程序(如下)，运行程序，记录结果；(2)把程序中X0ONESN,1改为X0EYEN,1，运行程序，记录结果；(3)把程序中AI,IM改为AI,I2M，注释掉X1MAJACOBIA,BX1 后面的部分，运行程序，记录结果；(4)仿照(3)再把主对角元成倍放大，运行程序，记录结果。12实验程序CLCN20AZEROSNM4FORI1NAI,IMENDFORI1N1AI,I11/3AI1,I1/3ENDFORI1N2AI,I21/5AI2,I1/5ENDX0ONESN,1BAX0X1MAJACOBIA,BX1 X2MASEIDELA,BX2 NORMX1X213实验设备MATLAB软件。2、SOR迭代法松弛因子的选取21．实验步骤(1)数据准备A12EYE200,200FORI1199AI,I12AI1,I2ENDFORJ1198AJ,J21AJ2,J1ENDB5ONES200,1(2)给定迭代误差1E6，取100,110,120,130,140,150,160,170,180,190,191,192,195,197,198,199,200，代入XMASORA,B，，X20MAJACOBIA,B并利用NORMXX20分别分析与雅可比迭代求的解的误差；3给定迭代误差1E6，取002,003,004010,020,030,040,050,060,070,080,090,097098,099，代入XMASORA,B，，X20MAJACOBIA,B并利用NORMXX20分别分析与雅可比迭代求的解的误差。五、实验结果1、迭代法的收敛速度(1)对于N20时N20COLUMNS1THROUGH12400000333302000000000000033334000003333020000000000002000033334000003333020000000000002000033334000003333020000000000002000033334000003333020000000000002000033334000003333020000000000002000033334000003333020000000000002000033334000003333020000000000002000033334000003333020000000000002000033334000003333020000000000002000033334000003333000000000020000333340000000000000002000033330000000000002000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000COLUMNS13THROUGH2000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000020000000000033330200000000040000033330200000000033334000003333020000000020000333340000033330200000000200003333400000333302000000002000033334000003333020000000020000333340000033330200000000200003333400000333300000020000333340000K11X11000010000//有20个10000K8X21000010000//有20个10000ANS33039E007当N200时A由于阶数太大省略；K11X11000010000//有200个10000K8X21000010000//有200个10000ANS11368E006(2)K4X11000010000(20阶)K4X21000010000(20阶)ANS48999E0082、SOR迭代法松弛因子的选取表111的情况