【数学】维维亚尼定理

维维亚尼定理 \Huge\textsf{维维亚尼定理} 维维亚尼定理

在等边三角形内任意一点P跟三边的垂直距离之和，等于三角形的高。

证明太简单了：

设这个等边三角形为 △ A B C \triangle ABC △ABC，P到三边的三个垂足为 D , E , F D,E,F D,E,F

则 S △ A B C = S △ A P B + S △ B P C + S △ C P A S_{\triangle ABC}=S_{\triangle APB}+S_{\triangle BPC}+S_{\triangle CPA} S△ABC=S△APB+S△BPC+S△CPA

= 1 2 A B ∗ P D + 1 2 A C ∗ P E + 1 2 B C ∗ P F =\frac{1}{2}AB*PD+\frac{1}{2}AC*PE+\frac{1}{2}BC*PF =21AB∗PD+21AC∗PE+21BC∗PF

= 1 2 ∗ A B ∗ ( P D + P E + P F ) =\frac{1}{2}*AB*(PD+PE+PF) =21∗AB∗(PD+PE+PF)

又$\because S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}* AB; * $ 高

$\therefore \frac{1}{2}AB(PD+PE+PF) = \frac{1}{2}* AB; * $ 高

即 P D + P E + P F PD+PE+PF\; PD+PE+PF = 高。

适用范围：未知，从来没用过。

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