风险收益导论

简单收益率

单期简单收益率

如果把一段时间内每一期的资产价格按照时间先后顺序排列起来，将得到资产价格的时间序列。第一期为P1，后续为P2等。假设投资者在t-1时投某资产，投入价格为Pt-1，持有一期后以Pt的价格卖掉。不考虑交易成本，其单期收益率Rt的计算公式为：

多期简单收益率

根据上面公式，二期的单期收益率Rt(2)为：

推导下来，多期简单收益率则为：

若投资者在t-k期以价格Pt-k买入该资产，在t期卖出，则k期单期收益率Rt(k)为：

计算举例

以4月11日为例。计算单期收益率及二期收益率：

假设4月2日为第一期，4月11日收盘价为11.83收盘价为11.83为第六期，t=6，4月11日收盘价为11.83，4月10日收盘价为11.42，4月9日收盘价为11.02，根据公式，4月11日的单期收益率R6为：

4月11日的二期收益率R6(2)为：

单期与多期简单收益率的关系

以两期的简单收益率为例，可以将其分解为两个单期简单收益率的乘积的形式。

其中 （1+Rt）*(1+Rt-1) 的概念就是复利。

连续复利收益率

连续复利的定义

复利就是复合利息，它是指每年的收益还可以产生收益，具体是将整个借贷期限分割为若干段，前一段按本金计算出的利息要加入到本金中，形成增大了的本金，作为下一段计算利息的本金基数，直到每一段的利息都计算出来，加总之后，就得出整个借贷期内的利息，简单来说就是俗称的利滚利。

而连续复利则是指在期数趋于无限大的极限情况下得到的利率，此时不同期之间的间隔很短，可以看作是无穷小量。

计算举例

若年收益率为14％，1000元资金投资两年后的期末资金应为：

若每年内复利生息2次(每六个月复利一次),则期终资金为：

若每年内复利生息4次，则期终资金为：

所以，若以R代表年利率，m代表每期(每年)内的复利次数，n代表投资期限(n年)，则以C0元投资n期(年)后所得的期末资金应为：

　式中，R／m代表小期内(In Asub-Period)的收益率。根据上式，可以分析连续复利收益率的概念以及计算方法。若将单一期(１年)内的复利次数(m)增加，则投资收益将会以更快的速度复利生息。也就是说，在单一期内复利生息的次数愈多，计算复利的期间也就愈缩短。当复利次数增至无限大时(m→∞)，投资收益将在每一瞬息间复利生息。这种瞬息复利生息的复利称为连复利生息(Continuously Compounding)。那么连续复利会不会导致期末资金的无限大？运用高等数学的极限知识，有：

所以，在持续复利生息下，C0元投资n期(年)后所得的期末资金应为：

反之，假设R代表单一期收益率，能与单期复利生息产生相同期终资金的连续复利报酬率R′应为：

(1)

此处，ln代表自然对数函数，证明如下：

以C0元投资一期，并复利计息一次的期末资金为：

(2)

以连续复利生息一期所得的期终资金应为

(3)

(2)式等于(3)式，可得(1)式。所以，若单期收益率为R，则其对等的连续复利收益率应为(1＋R)的自然对数，即ln(1＋R)。

连续复利收益率在投资研究的领域中运用十分广泛。其原因之一在于，它的概率分布较接近于正态分布，对金融经济学的理论发展与实际验证的简化具有相当大的帮助。

单期与多期连续复利收益率的关系

我们以两期连续复利收益率为例，两期连续复利收益率等于前一天和当天的单期复利收益

率之和。进而推知，k期连续复利收益率为k天的单期连续复利收益率之和。这体现了连续

复利收益率的优良性质：单期加总得到多期。

连续复利收益率在python中的实现