科学计算机算e的连续复利,自然对数e的证明和货币基金连续复利的真相

声音简介这个问题属于初等函数范畴,需要具备函数极限、微积分方面的知识基础.浏览了楼主的回答列表,我认为楼主的知识基础已经具备.

设函数 f(x) = (1 + 1/x)^x

首先证明当 x 趋向正无穷大时,该函数有极限.其次求该极限.

取x为整数n的情况,利用二项式定理

f(n) = (1+1/n)^n

=(k从0到n的求和)∑n(n-1)(n-2)……(n-k+1)/(k!*n^k)

=(k从0到n的求和)∑(1/k!)*(1-1/n)(1-2/n)……[1-(k-1)/n]

同理写出f(n+1)的展开式,容易看出 f(n+1) > f(n)

因此 f(n)是单调递增函数

同时从f(n)的展开表达式还可以得到

f(n) ≤ 1 + 1 + 1/2!+ 1/3!+ …… + 1/n!

再利用 n!> 2^(n-1) ,...(此定理的证明从略)

f(n) < 2 + 1/2 + 1/2^2 + 1/2^3 + …… + 1/2^(n-1)

= 3 - 1/2^(n-1) < 3

综上所述,f(n)随n单调递增,同时有界.因此 f(n)有极限.

之后利用初等函数中的夹挤定理,又可以进一步证明 f(x) 与f(n)类似.于是定义 x趋于正无穷大时,f(x)极限值为 e.

通过对 x取一个很大的数,可以计算出 e.x取得越大,e值越精确.

e≈2.7182818284……

e 值是这样定义出的.进一步研究又表明e值有一些有趣的数学性质.

例如对于以a为底的对数函数 f(x)=loga(x)求微分,

其结果为 f'(x)= [loga(e)]/x

这个结果的简单证明过程：

f'(x) = lim [f(x+Δx) - f(x)]/Δx .其中 Δx 趋向0.

代入 f(x)及 f(x+Δx)表达式后,

f'(x)= (1/x) * lim loga(1+Δx/x)^(Δx/x)

f'(x) = (1/x) * lim loga(1 +1/z)^z ,其中z趋向正无穷大

所以

f'(x)=(1/x)* loga(e)

然后在利用这个结果以及反函数的微分,可以证明指数函数的微分为

f(x) = a^x

f'(x) = loge(a) * a^x

因此定义 loge(a) = ln a

自此出现了自然对数.

另外从 (a^x)' = lna * a^x 可以推出 e^x 的导数恰好是其自身.

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