一、样本空间 & 事件

样本空间Ω\OmegaΩ指一个实验的可能结果的集合

ω∈Ω\omega \in \Omegaω∈Ω称为样本结果|样本实现|样本元素

Ω\OmegaΩ的子集被称为事件

对于事件AAA，符号AcA^cAc表示它的对于样本空间的补集，即Ac=CΩA={ω∈Ω,ω∉A}A^c=\mathrm C_\Omega A =\{\omega \in \Omega, \omega \notin A\}Ac=CΩA={ω∈Ω,ω∈/A}

对于单调递增事件序列A1⊂A2⊂A2⋅⋅⋅⊂AnA_1\subset A_2\subset A_2 ··· \subset A_nA1⊂A2⊂A2⋅⋅⋅⊂An，记lim⁡n→∞An=⋃i=0∞Ai\displaystyle{\lim_{n \to \infty} A_n = \bigcup_{i=0}^\infty A_i}n→∞limAn=i=0⋃∞Ai

对于单调递减事件序列A1⊃A2⊃A2⋅⋅⋅⊃AnA_1\supset A_2\supset A_2 ··· \supset A_nA1⊃A2⊃A2⋅⋅⋅⊃An，记lim⁡n→∞An=⋂i=0∞Ai\displaystyle{\lim_{n \to \infty} A_n = \bigcap_{i=0}^\infty A_i}n→∞limAn=i=0⋂∞Ai

例. 设Ω=R,Ai=[0,1i)\Omega=\mathbb R,\ A_i=[0, \displaystyle\frac{1}{i})Ω=R, Ai=[0,i1)，那么有
⋃i=0∞Ai=[0,1)⋂i=0∞Ai={0}\bigcup_{i=0}^\infty A_i=[0,1) \quad\quad\quad\quad \bigcap_{i=0}^\infty A_i=\{0\} i=0⋃∞Ai=[0,1)i=0⋂∞Ai={0}

二、σ\sigmaσ域

设A\mathscr AA是样本空间Ω\OmegaΩ的子集的集合，如果A\mathscr AA满足以下条件

(1)∅∈A(2)若A∈A，则Ac∈A(3)若Ai∈A，则⋃iAi∈A\begin{aligned} & (1)\ \varnothing \in \mathscr A \\ & (2)\ 若A\in\mathscr A，则A^c\in\mathscr A \\ & (3)\ 若A_i\in\mathscr A，则\bigcup_i A_i\in\mathscr A \end{aligned} (1) ∅∈A(2) 若A∈A，则Ac∈A(3) 若Ai∈A，则i⋃Ai∈A

那么我们称A\mathscr AA是一个σ\sigmaσ域或 σ\sigmaσ代数

注意：σ\sigmaσ域是集合的集合

例. 设AAA是样本空间Ω\OmegaΩ的一个合适非空子集（即A≠∅,A≠ΩA \neq \varnothing, A\neq\OmegaA=∅,A=Ω），那么包含AAA的最小σ\sigmaσ域是：
Amin={∅,Ω,A,Ac}\mathscr A_{min} = \{\varnothing, \Omega, A, A^c\} Amin={∅,Ω,A,Ac}

设Ω=R\Omega=\mathbb RΩ=R，A\mathscr AA是包含R\mathbb RR的所有开区间子集的集合的σ\sigmaσ域，
那么，称A\mathscr AA为关于R\mathbb RR的Borel域，记为B(R)\mathcal B(\mathbb R)B(R)

三、测度

若A\mathscr AA是由Ω\OmegaΩ得出的σ\sigmaσ域，那么(Ω,A)(\Omega, \mathscr A)(Ω,A)二元组称为可测空间，
A\mathscr AA中的元素称为可测集

设(Ω,A)(\Omega, \mathscr A)(Ω,A)是一个可测空间，μ\muμ是一个定义在A\mathscr AA上的函数，μ:A⟼R\mu: \mathscr A\longmapsto\mathbb Rμ:A⟼R

若μ\muμ满足：

(1)0≤μ(A)≤∞(2)μ(∅)=0(3)若Ai∈A且Ai∩Aj=i≠j∅，则μ(⋃iAi)=∑iμ(Ai)\begin{aligned} & (1)\ 0 \le \mu(A) \le \infty \\ & (2)\ \mu(\varnothing) = 0 \\ & (3)\ 若A_i\in\mathscr A且A_i\cap A_j\overset{\mathrm{i\ne j}}{=}\varnothing，则\mu(\bigcup_i A_i)=\sum_i\mu(A_i) \end{aligned} (1) 0≤μ(A)≤∞(2) μ(∅)=0(3) 若Ai∈A且Ai∩Aj=i=j∅，则μ(i⋃Ai)=i∑μ(Ai)
那么我们称μ\muμ为测度，
称(Ω,A,μ)(\Omega, \mathscr A, \mu)(Ω,A,μ)为测度空间

特殊地，若μ(Ω)=1\mu(\Omega)=1μ(Ω)=1，则称μ\muμ为概率测度，可记为大P\mathrm PP
称(Ω,A,P)(\Omega, \mathscr A, \mathrm P)(Ω,A,P)为概率空间

概率论基础（sigma域、测度）相关推荐

测度论与概率论基础学习笔记3——2.1测度的定义与性质
定义1 设E\mathscr EE是XXX上的集合系且∅∈E\emptyset \in \mathscr E∅∈E,若E\mathscr EE上的非负集函数(取值大于等于0的函数)μ\muμ具有可列可 ...
测度论与概率论基础学习笔记5——2.3测度的扩张和测度空间的完备化
note:这部分内容比较偏证明,对我来说有些难度,也好久没更新.今日暂且一记,以后有更深刻的理解之后再来补充.2021.3.16 一.测度的扩张定义:扩张设μ\muμ和τ\tauτ分别是集合系A\ ...
概率论基础知识（二）随机变量及其分布
概率论基础知识(二) 随机变量及其分布 1.随机变量定义:设随机试验的样本空间为S={e}, X=X(e)是定义在样本空间S上的实值单值函数.称X=X(e)为随机变量. 这样一来,样本空间可以很好的 ...
数学基础（1）~ 概率论基础知识
概率论基础出处:http://www.cnblogs.com/fanling999/p/6702297.html 参考:盛骤, 谢式千, 潘承毅. 概率论与数理统计, 第四版[M]. 高等教育出版社 ...
测度论与概率论基础学习笔记4——2.2外测度
测度论果然十分高深啊-越学越觉得自己水平有限,只能做一些肤浅的理解. 由于比较stupid,本节的证明我都没有学(doge,希望几年之后武功长进之时能回来看看. 引言外测度的基本想法是用一些形状良好 ...
【概率论基础】概率论的一些基础概念以及公式
概率论基础不确定性的来源: 被建模系统内在的随机性:如量子力学的粒子动力学描述. 不完全观测:不嫩观测到所有驱动系统行为的变量. 不完全建模:进行假设简化时必须舍弃某些观测信息,舍弃的信息导致魔性的 ...
「Python数据分析系列」6. 概率论基础介绍
来源 | Data Science from Scratch, Second Edition 作者 | Joel Grus 译者 | cloverErna 校对 | gongyouliu 编辑 | ...
【机器学习算法专题（蓄力计划）】三、机器学习中的概率论基础精讲
这是统计学的基本概念,随便找本概率论基础都可以找到这些概念,看不懂的就看多几遍,重点在记住和知道应用场合,知识点之间的衔接很重要,理解为王. 文章目录 1. 随机变量分类 2. 常见的离散分布 2.1 ...
【数理统计】概率论基础回顾
零.概率论基础回顾 1. 求离散型的期望

概率论基础（sigma域、测度）

一、样本空间 & 事件

二、σ\sigmaσ域

三、测度

概率论基础（sigma域、测度）相关推荐

最新文章

热门文章