图像梯度求解的理论知识

连续函数在某一点的导数可以由 ${f}'(x) = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ 得到。

图像是离散函数，在某点的梯度可以用向前差商、向后差商或者中心差商获得。这里采用中心差商 ${f}'(x) ={\lim_{h\rightarrow 0}}\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}$ 可以获取图像某点的导数值。计算过程如下图所示

图像的一阶微分求解

首先看一下一维的微分公式Δf = f(x+1) – f(x), 对于一幅二维的数字图像f(x,y)而言，需要完成X与Y两个方向上的微分。

计算图像梯度值的具体步骤

需要用到计算x、y方向导数值的两个滤波核
利用上述两个滤波核，分别与图像进行卷积
把得到的值写在一起得到图像梯度向量

整体的步骤概括如下：

梯度方向

梯度幅度

对于离散的图像来说,一阶微分的数学表达相当于两个相邻像素的差值，根据选择的梯度算子不同，效果可能有所不同，但是基本原理不会变化。最常见的算子为Roberts算子，Sobel算子，Prewitt算子。

图像梯度和算子之间的关系

图像的梯度可以用一阶导数和二阶偏导数来求解。但是图像以矩阵的形式存储的，不能像数学理论中对直线或者曲线求导一样，对一幅图像的求导相当于对一个平面、曲面求导。对图像的操作，我们采用模板对原图像进行卷积运算，从而达到我们想要的效果。而获取一幅图像的梯度就转化为：模板（Roberts、Prewitt、Sobel、Lapacian算子）对原图像进行卷积，不过这里的模板并不是随便设计的，而是根据数学中求导理论推导出来的。

算子的推导

基础知识

Roberts算子

图像是一个二维的离散型数集，通过推广二维连续型求函数偏导的方法，来求得图像的偏导数，即在(x,y)处的最大变化率，也就是这里的梯度：

梯度是一个矢量，则(x,y)处的梯度表示为：

梯度的大小为：

因为平方和平方根需要大量的计算开销，所以使用绝对值来近似梯度幅值：

梯度的方向为：

垂直和水平方向的梯度对应的模板为：

对角线的梯度的计算公式为：

对角线的梯度的对应模板为：

Roberts算子的计算过程可以通过下图来进行演示:

Prewitt算子

在3*3的模板中，水平、垂直和两对角线方向的梯度计算公式如下：

Prewitt算子对应的模板如下：

Sobel算子

Sobel算子是在Prewitt算子的基础上改进的，在中心系数上使用一个权值2，相比较Prewitt算子，Sobel模板能够较好的抑制噪声。

在3*3的模板中，水平、垂直的梯度计算公式如下：

sobel算子对应的模板如下：

参考网址：

https://blog.csdn.net/jia20003/article/details/7664777

https://blog.csdn.net/qq_18815817/article/details/78625845

https://blog.csdn.net/forever_and_forever/article/details/82721356

https://blog.csdn.net/liuxiangxxl/article/details/78226617?locationNum=4&fps=1

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