图像梯度算法中算子的由来

相关概念

如何求图像的梯度？

求图像的梯度，一般是对灰度图像或者彩色图像进行操作。数字图像就是离散的点值谱，也可以叫二维离散函数。图像的梯度就是这个二维离散函数的求导。
导数（Derivative）是微积分中的重要基础概念。在百度百科里面是这样解释的：当函数y=f(x)的自变量X在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f’(x0)或df/dx(x0)。
图像的求导就是水平方向或者垂直方向的，相邻两个像素之间的差值。
图像梯度: G(x,y) = dx(i,j) + dy(i,j);
dx(i,j) = I(i+1,j) - I(i,j);
dy(i,j) = I(i,j+1) - I(i,j);
其中，I是图像像素的值(如：RGB值)，(i,j)为像素的坐标。
图像梯度一般也可以用中值差分：
dx(i,j) = [I(i+1,j) - I(i-1,j)]/2;
dy(i,j) = [I(i,j+1) - I(i,j-1)]/2;

图像中一阶微分怎么求？

首先看一下一维的微分公式Δf = f(x+1) – f(x), 对于一幅二维的数字图像f(x,y)而言，需要完

成XY两个方向上的微分，所以有如下的公式：

分别对X,Y两个方向上求出它们的偏微分，最终得到梯度Delta F.

对于离散的图像来说,一阶微分的数学表达相当于两个相邻像素的差值，根据选择的梯度算

子不同，效果可能有所不同，但是基本原理不会变化。最常见的算子为Roberts算子，其它

常见还有Sobel，Prewitt等算子。以Roberts算子为例的X,Y的梯度计算演示如下图：

一、问题

1、图像梯度和算子之间是什么关系？为什么求图像的梯度要用到算子?

图像的梯度可以用一阶导数和二阶偏导数来求解。但是图像以矩阵的形式存储的，不能像数学理论中对直线或者曲线求导一样，对一幅图像的求导相当于对一个平面、曲面求导。对图像的操作，我们采用模板对原图像进行卷积运算，从而达到我们想要的效果。而获取一幅图像的梯度就转化为：模板（Roberts、Prewitt、Sobel、Lapacian算子）对原图像进行卷积，不过这里的模板并不是随便设计的，而是根据数学中求导理论推导出来的。下面就逐一分析各梯度算子的推导过程。

2、算子的推导
1、知识引入：
在一维连续数集上有函数f(x),我们可以通过求导获得该函数在任一点的斜率，根据导数的定义有：

在二维连续数集上有函数f(x,y),我们也可以通过求导获得该函数在x和y分量的偏导数，根据定义有：

2、梯度和Roberts算子：
对于图像来说，是一个二维的离散型数集，通过推广二维连续型求函数偏导的方法，来求得图像的偏导数，即在(x,y)处的最大变化率，也就是这里的梯度：

梯度是一个矢量，则(x,y)处的梯度表示为：
其大小为：
因为平方和平方根需要大量的计算开销，所以使用绝对值来近似梯度幅值：

方向与α(x,y)正交：
其对应的模板为：

上面是图像的垂直和水平梯度，但我们有时候也需要对角线方向的梯度，定义如下：

对应模板为：

     上述模板就是Roberts交叉梯度算子。

2*2大小的模板在概念上很简单，但是他们对于用关于中心点对称的模板来计算边缘方向不是很有用，其最小模板大小为3*3。3*3模板考虑了中心点对段数据的性质，并携带有关于边缘方向的更多信息。

3、Prewitt和Sobel算子：
在3*3模板中：

我如下定义水平、垂直和两对角线方向的梯度：

该定义下的算子称之为Prewitt算子：

Sobel算子是在Prewitt算子的基础上改进的，在中心系数上使用一个权值2，相比较Prewitt算子，Sobel模板能够较好的抑制（平滑）噪声。
计算公式为：
Sobel算子：

上述所有算子都是通过求一阶导数来计算梯度的，用于线的检测，在图像处理中，通常用于边缘检测。在图像处理过程中，除了检测线，有时候也需要检测特殊点，这就需要用二阶导数进行检测。

4、Lapacian算子：
一阶导数：

二阶导数：

我们感兴趣的是关于点x的二阶导数，故将上式中的变量减1后，得到：

在图像处理中通过拉普拉斯模板求二阶导数，其定义如下：

对应模板为：

模板中心位置的数字是-8而不是-4，是因为要使这些系数之和为0，当遇到恒定湖对区域时，模板响应应将0。

在用lapacian算子图像进行卷积运算时，当响应的绝对值超过指定阈值时，那么该点就是被检测出来的孤立点，具体输出如下：

部分引用参考来源：

http://blog.csdn.net/swj110119/article/details/51777422

http://blog.csdn.net/jia20003/article/details/7562092

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