高等数学（第七版）同济大学习题11-6 个人解答

高等数学（第七版）同济大学习题11-6

1. 利用高斯公式计算曲面积分： \begin{aligned}&1. \ 利用高斯公式计算曲面积分：&\end{aligned} 1. 利用高斯公式计算曲面积分：

( 1 ) ∯ Σ x 2 d y d z + y 2 d z d x + z 2 d x d y ，其中 Σ 为平面 x = 0 ， y = 0 ， z = 0 ， x = a ， y = a ， z = a 所围成的立体的表面的外侧； ( 2 ) ∯ Σ x 3 d y d z + y 3 d z d x + z 3 d x d y ，其中 Σ 为球面 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 的外侧； ( 3 ) ∯ Σ x z 2 d y d z + ( x 2 y − z 3 ) d z d x + ( 2 x y + y 2 z ) d x d y ，其中 Σ 为上半球体 0 ≤ z ≤ a 2 − x 2 − y 2 ， x 2 + y 2 ≤ a 2 的表面的外侧； ( 4 ) ∯ Σ x d y d z + y d z d x + z d x d y ，其中 Σ 是界于 z = 0 和 z = 3 之间的圆柱体 x 2 + y 2 ≤ 9 的整个表面的外侧； ( 5 ) ∯ Σ 4 x z d y d z − y 2 d z d x + y z d x d y ，其中 Σ 是平面 x = 0 ， y = 0 ， z = 0 ， x = 1 ， y = 1 ， z = 1 所围成的立方体的全表面的外侧 . \begin{aligned} &\ \ (1)\ \ \oiint_{\Sigma}x^2dydz+y^2dzdx+z^2dxdy，其中\Sigma为平面x=0，y=0，z=0，x=a，y=a，z=a所围成的\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 立体的表面的外侧；\\\\ &\ \ (2)\ \ \oiint_{\Sigma}x^3dydz+y^3dzdx+z^3dxdy，其中\Sigma为球面x^2+y^2+z^2=a^2的外侧；\\\\ &\ \ (3)\ \ \oiint_{\Sigma}xz^2dydz+(x^2y-z^3)dzdx+(2xy+y^2z)dxdy，其中\Sigma为上半球体0 \le z \le \sqrt{a^2-x^2-y^2}，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ x^2+y^2 \le a^2的表面的外侧；\\\\ &\ \ (4)\ \ \oiint_{\Sigma}xdydz+ydzdx+zdxdy，其中\Sigma是界于z=0和z=3之间的圆柱体x^2+y^2 \le 9的整个表面的外侧；\\\\ &\ \ (5)\ \ \oiint_{\Sigma}4xzdydz-y^2dzdx+yzdxdy，其中\Sigma是平面x=0，y=0，z=0，x=1，y=1，z=1所围成\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 的立方体的全表面的外侧. & \end{aligned} (1) ∬ Σx2dydz+y2dzdx+z2dxdy，其中Σ为平面x=0，y=0，z=0，x=a，y=a，z=a所围成的立体的表面的外侧； (2) ∬ Σx3dydz+y3dzdx+z3dxdy，其中Σ为球面x2+y2+z2=a2的外侧； (3) ∬ Σxz2dydz+(x2y−z3)dzdx+(2xy+y2z)dxdy，其中Σ为上半球体0≤z≤a2−x2−y2 ， x2+y2≤a2的表面的外侧； (4) ∬ Σxdydz+ydzdx+zdxdy，其中Σ是界于z=0和z=3之间的圆柱体x2+y2≤9的整个表面的外侧； (5) ∬ Σ4xzdydz−y2dzdx+yzdxdy，其中Σ是平面x=0，y=0，z=0，x=1，y=1，z=1所围成的立方体的全表面的外侧.

解：

( 1 ) ∯ Σ x 2 d y d z + y 2 d z d x + z 2 d x d y = ∭ Ω ( ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z ) d v = 2 ∭ Ω ( x + y + z ) d v ，根据对称性，上式 = 6 ∭ Ω z d v = 6 ∫ 0 a d x ∫ 0 a d y ∫ 0 a z d z = 6 ⋅ a ⋅ a ⋅ a 2 2 = 3 a 4 . ( 2 ) ∯ Σ x 3 d y d z + y 3 d z d x + z 3 d x d y = ∭ Ω ( ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z ) d v = 3 ∭ Ω ( x 2 + y 2 + z 2 ) d v ，转换为球面坐标，上式 = 3 ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π d φ ∫ 0 a r 2 ⋅ r 2 s i n φ d r = 3 ⋅ 2 π ⋅ 2 ⋅ a 5 5 = 12 5 π a 5 . ( 3 ) ∯ Σ x z 2 d y d z + ( x 2 y − z 3 ) d z d x + ( 2 x y + y 2 z ) d x d y = ∭ Ω ( ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z ) d v = ∭ Ω ( z 2 + x 2 + y 2 ) d v ，转换为球面坐标，上式 = ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π 2 d φ ∫ 0 a r 2 ⋅ r 2 s i n φ d r = 2 π ⋅ 1 ⋅ a 5 5 = 2 5 π a 5 . ( 4 ) ∯ Σ x d y d z + y d z d x + z d x d y = ∭ Ω ( ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z ) d v = ∭ Ω ( 1 + 1 + 1 ) d v = 3 ∭ Ω d v = 3 ⋅ π ⋅ 3 2 ⋅ 3 = 81 π . ( 5 ) ∯ Σ 4 x z d y d z − y 2 d z d x + y z d x d y = ∭ Ω ( ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z ) d v = ∭ Ω ( 4 z − 2 y + y ) d v = ∫ 0 1 d x ∫ 0 1 d y ∫ 0 1 ( 4 z − y ) d z = ∫ 0 1 d x ∫ 0 1 ( 2 − y ) d y = 3 2 . \begin{aligned} &\ \ (1)\ \oiint_{\Sigma}x^2dydz+y^2dzdx+z^2dxdy=\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dv=2\iiint_{\Omega}(x+y+z)dv，根据对称性，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 上式=6\iiint_{\Omega}zdv=6\int_{0}^{a}dx\int_{0}^{a}dy\int_{0}^{a}zdz=6\cdot a \cdot a \cdot \frac{a^2}{2}=3a^4.\\\\ &\ \ (2)\ \oiint_{\Sigma}x^3dydz+y^3dzdx+z^3dxdy=\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dv=3\iiint_{\Omega}(x^2+y^2+z^2)dv，转换为球面坐标，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 上式=3\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{\pi}d\varphi\int_{0}^{a}r^2\cdot r^2sin\ \varphi dr=3\cdot 2\pi \cdot 2 \cdot \frac{a^5}{5}=\frac{12}{5}\pi a^5.\\\\ &\ \ (3)\ \oiint_{\Sigma}xz^2dydz+(x^2y-z^3)dzdx+(2xy+y^2z)dxdy=\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dv=\iiint_{\Omega}(z^2+x^2+y^2)dv，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 转换为球面坐标，上式=\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\varphi \int_{0}^{a}r^2\cdot r^2sin\ \varphi dr=2\pi \cdot 1 \cdot \frac{a^5}{5}=\frac{2}{5}\pi a^5.\\\\ &\ \ (4)\ \oiint_{\Sigma}xdydz+ydzdx+zdxdy=\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dv=\iiint_{\Omega}(1+1+1)dv=3\iiint_{\Omega}dv=\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 3\cdot \pi \cdot 3^2 \cdot 3=81\pi.\\\\ &\ \ (5)\ \oiint_{\Sigma}4xzdydz-y^2dzdx+yzdxdy=\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dv=\iiint_{\Omega}(4z-2y+y)dv=\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \int_{0}^{1}dx\int_{0}^{1}dy\int_{0}^{1}(4z-y)dz=\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{1}(2-y)dy=\frac{3}{2}. & \end{aligned} (1) ∬ Σx2dydz+y2dzdx+z2dxdy=∭Ω(∂x∂P+∂y∂Q+∂z∂R)dv=2∭Ω(x+y+z)dv，根据对称性，上式=6∭Ωzdv=6∫0adx∫0ady∫0azdz=6⋅a⋅a⋅2a2=3a4. (2) ∬ Σx3dydz+y3dzdx+z3dxdy=∭Ω(∂x∂P+∂y∂Q+∂z∂R)dv=3∭Ω(x2+y2+z2)dv，转换为球面坐标，上式=3∫02πdθ∫0πdφ∫0ar2⋅r2sin φdr=3⋅2π⋅2⋅5a5=512πa5. (3) ∬ Σxz2dydz+(x2y−z3)dzdx+(2xy+y2z)dxdy=∭Ω(∂x∂P+∂y∂Q+∂z∂R)dv=∭Ω(z2+x2+y2)dv，转换为球面坐标，上式=∫02πdθ∫02πdφ∫0ar2⋅r2sin φdr=2π⋅1⋅5a5=52πa5. (4) ∬ Σxdydz+ydzdx+zdxdy=∭Ω(∂x∂P+∂y∂Q+∂z∂R)dv=∭Ω(1+1+1)dv=3∭Ωdv= 3⋅π⋅32⋅3=81π. (5) ∬ Σ4xzdydz−y2dzdx+yzdxdy=∭Ω(∂x∂P+∂y∂Q+∂z∂R)dv=∭Ω(4z−2y+y)dv= ∫01dx∫01dy∫01(4z−y)dz=∫01dx∫01(2−y)dy=23.

2. 求下列向量 A 穿过曲面 Σ 流向指定侧的通量： \begin{aligned}&2. \ 求下列向量A穿过曲面\Sigma流向指定侧的通量：&\end{aligned} 2. 求下列向量A穿过曲面Σ流向指定侧的通量：

( 1 ) A = y z i + x z j + x y k ， Σ 为圆柱 x 2 + y 2 ≤ a 2 ( 0 ≤ z ≤ h ) 的全表面，流向外侧； ( 2 ) A = ( 2 x − z ) i + x 2 y j − x z 2 k ， Σ 为立方体 0 ≤ x ≤ a ， 0 ≤ y ≤ a ， 0 ≤ z ≤ a 的全表面，流向外侧； ( 3 ) A = ( 2 x + 3 z ) i − ( x z + y ) j + ( y 2 + 2 z ) k ， Σ 是以点 ( 3 , − 1 , 2 ) 为球心，半径 R = 3 的球面，流向外侧 . \begin{aligned} &\ \ (1)\ \ A=yzi+xzj+xyk，\Sigma为圆柱x^2+y^2 \le a^2\ (0 \le z \le h)的全表面，流向外侧；\\\\ &\ \ (2)\ \ A=(2x-z)i+x^2yj-xz^2k，\Sigma为立方体0 \le x \le a，0 \le y \le a，0 \le z \le a的全表面，流向外侧；\\\\ &\ \ (3)\ \ A=(2x+3z)i-(xz+y)j+(y^2+2z)k，\Sigma是以点(3, \ -1, \ 2)为球心，半径R=3的球面，流向外侧. & \end{aligned} (1) A=yzi+xzj+xyk，Σ为圆柱x2+y2≤a2 (0≤z≤h)的全表面，流向外侧； (2) A=(2x−z)i+x2yj−xz2k，Σ为立方体0≤x≤a，0≤y≤a，0≤z≤a的全表面，流向外侧； (3) A=(2x+3z)i−(xz+y)j+(y2+2z)k，Σ是以点(3, −1, 2)为球心，半径R=3的球面，流向外侧.

解：

( 1 ) 通量 Φ = ∬ Σ A ⋅ d S = ∭ Ω d i v A d v = ∭ Ω ( ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z ) d v = ∭ Ω [ ∂ ( y z ) ∂ x + ∂ ( x z ) ∂ y + ∂ ( x y ) ∂ z ] d v = ∭ Ω 0 d v = 0. ( 2 ) 通量 Φ = ∬ Σ A ⋅ d S = ∭ Ω d i v A d v = ∭ Ω ( ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z ) d v = ∭ Ω [ ∂ ( 2 x − z ) ∂ x + ∂ ( x 2 y ) ∂ y + ∂ ( − x z 2 ) ∂ z ] d v = ∭ Ω ( 2 + x 2 − 2 x z ) d v = 2 a 3 + ∫ 0 a d x ∫ 0 a d y ∫ 0 a ( x 2 − 2 x z ) d z = 2 a 3 − a 5 6 = a 3 ( 2 − a 2 6 ) . ( 3 ) 通量 Φ = ∬ Σ A ⋅ d S = ∭ Ω d i v A d v = ∭ Ω ( ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z ) d v = ∭ Ω [ ∂ ( 2 x + 3 z ) ∂ x + ∂ ( − x z − y ) ∂ y + ∂ ( y 2 + 2 z ) ∂ z ] d v = ∭ Ω ( 2 − 1 + 2 ) d v = 3 ∭ Ω d v = 3 ⋅ 4 3 π ⋅ 3 3 = 108 π . \begin{aligned} &\ \ (1)\ 通量\Phi=\iint_{\Sigma}A\cdot dS=\iiint_{\Omega}div\ Adv=\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dv=\iiint_{\Omega}\left[\frac{\partial(yz)}{\partial x}+\frac{\partial(xz)}{\partial y}+\frac{\partial(xy)}{\partial z}\right]dv=\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \iiint_{\Omega}0dv=0.\\\\ &\ \ (2)\ 通量\Phi=\iint_{\Sigma}A\cdot dS=\iiint_{\Omega}div\ Adv=\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dv=\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \iiint_{\Omega}\left[\frac{\partial(2x-z)}{\partial x}+\frac{\partial(x^2y)}{\partial y}+\frac{\partial(-xz^2)}{\partial z}\right]dv=\iiint_{\Omega}(2+x^2-2xz)dv=\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 2a^3+\int_{0}^{a}dx\int_{0}^{a}dy\int_{0}^{a}(x^2-2xz)dz=2a^3-\frac{a^5}{6}=a^3\left(2-\frac{a^2}{6}\right).\\\\ &\ \ (3)\ 通量\Phi=\iint_{\Sigma}A\cdot dS=\iiint_{\Omega}div\ Adv=\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dv=\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \iiint_{\Omega}\left[\frac{\partial(2x+3z)}{\partial x}+\frac{\partial(-xz-y)}{\partial y}+\frac{\partial(y^2+2z)}{\partial z}\right]dv=\iiint_{\Omega}(2-1+2)dv=3\iiint_{\Omega}dv=3\cdot \frac{4}{3}\pi \cdot 3^3=108\pi. & \end{aligned} (1) 通量Φ=∬ΣA⋅dS=∭Ωdiv Adv=∭Ω(∂x∂P+∂y∂Q+∂z∂R)dv=∭Ω[∂x∂(yz)+∂y∂(xz)+∂z∂(xy)]dv= ∭Ω0dv=0. (2) 通量Φ=∬ΣA⋅dS=∭Ωdiv Adv=∭Ω(∂x∂P+∂y∂Q+∂z∂R)dv= ∭Ω[∂x∂(2x−z)+∂y∂(x2y)+∂z∂(−xz2)]dv=∭Ω(2+x2−2xz)dv= 2a3+∫0adx∫0ady∫0a(x2−2xz)dz=2a3−6a5=a3(2−6a2). (3) 通量Φ=∬ΣA⋅dS=∭Ωdiv Adv=∭Ω(∂x∂P+∂y∂Q+∂z∂R)dv= ∭Ω[∂x∂(2x+3z)+∂y∂(−xz−y)+∂z∂(y2+2z)]dv=∭Ω(2−1+2)dv=3∭Ωdv=3⋅34π⋅33=108π.

3. 求下列向量场 A 的散度： \begin{aligned}&3. \ 求下列向量场A的散度：&\end{aligned} 3. 求下列向量场A的散度：

( 1 ) A = ( x 2 + y z ) i + ( y 2 + x z ) j + ( z 2 + x y ) k ； ( 2 ) A = e x y i + c o s ( x y ) j + c o s ( x z 2 ) k ； ( 3 ) A = y 2 i + x y j + x z k . \begin{aligned} &\ \ (1)\ \ A=(x^2+yz)i+(y^2+xz)j+(z^2+xy)k；\\\\ &\ \ (2)\ \ A=e^{xy}i+cos(xy)j+cos(xz^2)k；\\\\ &\ \ (3)\ \ A=y^2i+xyj+xzk. & \end{aligned} (1) A=(x2+yz)i+(y2+xz)j+(z2+xy)k； (2) A=exyi+cos(xy)j+cos(xz2)k； (3) A=y2i+xyj+xzk.

解：

( 1 ) P = x 2 + y z ， Q = y 2 + x z ， R = z 2 + x y ， d i v A = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z = 2 x + 2 y + 2 z . ( 2 ) P = e x y ， Q = c o s ( x y ) ， R = c o s ( x z 2 ) ， d i v A = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z = y e x y − x s i n ( x y ) − 2 x z s i n ( x z 2 ) . ( 3 ) P = y 2 ， Q = x y ， R = x z ， d i v A = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z = 0 + x + x = 2 x . \begin{aligned} &\ \ (1)\ P=x^2+yz，Q=y^2+xz，R=z^2+xy，div\ A=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=2x+2y+2z.\\\\ &\ \ (2)\ P=e^{xy}，Q=cos(xy)，R=cos(xz^2)，div\ A=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=ye^{xy}-xsin(xy)-2xzsin(xz^2).\\\\ &\ \ (3)\ P=y^2，Q=xy，R=xz，div\ A=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=0+x+x=2x. & \end{aligned} (1) P=x2+yz，Q=y2+xz，R=z2+xy，div A=∂x∂P+∂y∂Q+∂z∂R=2x+2y+2z. (2) P=exy，Q=cos(xy)，R=cos(xz2)，div A=∂x∂P+∂y∂Q+∂z∂R=yexy−xsin(xy)−2xzsin(xz2). (3) P=y2，Q=xy，R=xz，div A=∂x∂P+∂y∂Q+∂z∂R=0+x+x=2x.

4. 设 u ( x , y , z ) 、 v ( x , y , z ) 是两个定义在闭区域 Ω 上的具有二阶连续偏导数的函数， ∂ u ∂ n 、 ∂ v ∂ n 依次表示 u ( x , y , z ) 、 v ( x , y , z ) 沿 Σ 的外法线方向的方向导数，证明： ∭ Ω ( u Δ v − v Δ u ) d x d y d z = ∯ Σ ( u ∂ v ∂ n − v ∂ u ∂ n ) d S ，其中 Σ 是空间闭区域 Ω 的整个边界曲面，这个公式叫做格林第二公式 . \begin{aligned}&4. \ 设u(x, \ y, z)、v(x, \ y, \ z)是两个定义在闭区域\Omega上的具有二阶连续偏导数的函数，\frac{\partial u}{\partial n}、\frac{\partial v}{\partial n}依次表示\\\\&\ \ \ \ u(x, \ y, \ z)、v(x, \ y, \ z)沿\Sigma的外法线方向的方向导数，证明：\\\\&\ \ \ \ \iiint_{\Omega}(u\Delta v-v\Delta u)dxdydz=\oiint_{\Sigma}\left(u\frac{\partial v}{\partial n}-v\frac{\partial u}{\partial n}\right)dS，\\\\&\ \ \ \ 其中\Sigma是空间闭区域\Omega的整个边界曲面，这个公式叫做格林第二公式.&\end{aligned} 4. 设u(x, y,z)、v(x, y, z)是两个定义在闭区域Ω上的具有二阶连续偏导数的函数，∂n∂u、∂n∂v依次表示 u(x, y, z)、v(x, y, z)沿Σ的外法线方向的方向导数，证明： ∭Ω(uΔv−vΔu)dxdydz=∬ Σ(u∂n∂v−v∂n∂u)dS，其中Σ是空间闭区域Ω的整个边界曲面，这个公式叫做格林第二公式.

解：

根据格林第一公式可知， ∭ Ω u Δ v d x d y d z = ∯ Σ u ∂ v ∂ n d S − ∭ Ω ( ∂ u ∂ x ∂ v ∂ x + ∂ u ∂ y ∂ v ∂ y + ∂ u ∂ z ∂ v ∂ z ) d x d y d z ，将函数 u 和 v 交换，得 ∭ Ω v Δ u d x d y d z = ∯ Σ v ∂ u ∂ n d S − ∭ Ω ( ∂ u ∂ x ∂ v ∂ x + ∂ u ∂ y ∂ v ∂ y + ∂ u ∂ z ∂ v ∂ z ) d x d y d z ，将上述两式相减，得 ∭ Ω ( u Δ v − v Δ u ) d x d y d z = ∯ Σ ( u ∂ v ∂ n − v ∂ u ∂ n ) d S \begin{aligned} &\ \ 根据格林第一公式可知，\iiint_{\Omega}u\Delta vdxdydz=\oiint_{\Sigma}u\frac{\partial v}{\partial n}dS-\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial u}{\partial z}\frac{\partial v}{\partial z}\right)dxdydz，\\\\ &\ \ 将函数u和v交换，得\iiint_{\Omega}v\Delta udxdydz=\oiint_{\Sigma}v\frac{\partial u}{\partial n}dS-\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial u}{\partial z}\frac{\partial v}{\partial z}\right)dxdydz，\\\\ &\ \ 将上述两式相减，得\iiint_{\Omega}(u\Delta v-v\Delta u)dxdydz=\oiint_{\Sigma}\left(u\frac{\partial v}{\partial n}-v\frac{\partial u}{\partial n}\right)dS & \end{aligned} 根据格林第一公式可知，∭ΩuΔvdxdydz=∬ Σu∂n∂vdS−∭Ω(∂x∂u∂x∂v+∂y∂u∂y∂v+∂z∂u∂z∂v)dxdydz，将函数u和v交换，得∭ΩvΔudxdydz=∬ Σv∂n∂udS−∭Ω(∂x∂u∂x∂v+∂y∂u∂y∂v+∂z∂u∂z∂v)dxdydz，将上述两式相减，得∭Ω(uΔv−vΔu)dxdydz=∬ Σ(u∂n∂v−v∂n∂u)dS

5. 利用高斯公式推证阿基米德原理：浸没在液体中的物体所受液体的压力的合力（即浮力）的方向铅直向上，其大小等于这物体所排开的液体的重力 . \begin{aligned}&5. \ 利用高斯公式推证阿基米德原理：浸没在液体中的物体所受液体的压力的合力（即浮力）的方向铅直\\\\&\ \ \ \ 向上，其大小等于这物体所排开的液体的重力.&\end{aligned} 5. 利用高斯公式推证阿基米德原理：浸没在液体中的物体所受液体的压力的合力（即浮力）的方向铅直向上，其大小等于这物体所排开的液体的重力.

解：

取液面为 x O y 面， z 轴铅直向上，设液体的密度为 ρ ，在物体表面 Σ 上取面积元素 d S ， M ( x , y , z ) 为 d S 上的一点 ( z ≤ 0 ) ， Σ 在点 M 处的外法线向量的方向余弦为 c o s α ， c o s β ， c o s γ ，则 d S 所受液体的压力指向内法线方向 ( − c o s α , − c o s β , − c o s γ ) ，压力在 x 轴、 y 轴、 z 轴上的分量分别为 ρ z c o s α d S ， ρ z c o s β d S ， ρ z c o s γ d S ， Σ 所受的液体的总压力在各坐标轴上的分量等于上列各分量元素在 Σ 上的积分，由高斯公式可得 F x = ∯ Σ ρ z c o s α d S = ∭ Ω ∂ ( ρ z ) ∂ x d v = ∭ Ω 0 d v = 0 ， F y = ∯ Σ ρ z c o s β d S = ∭ Ω ∂ ( ρ z ) ∂ y d v = ∭ Ω 0 d v = 0 ， F z = ∯ Σ ρ z c o s γ d S = ∭ Ω ∂ ( ρ z ) ∂ z d v = ∭ Ω ρ d v = ρ V ，所以合力 F = ρ V k ，力的方向铅直向上，大小等于被物体排开的液体的重力 . \begin{aligned} &\ \ 取液面为xOy面，z轴铅直向上，设液体的密度为\rho，在物体表面\Sigma上取面积元素dS，M(x, \ y, \ z)为dS上的一点\\\\ &\ \ (z \le 0)，\Sigma在点M处的外法线向量的方向余弦为cos\ \alpha，cos\ \beta，cos\ \gamma，则dS所受液体的压力指向内法线方向\\\\ &\ \ (-cos\ \alpha, \ -cos\ \beta, \ -cos\ \gamma)，压力在x轴、y轴、z轴上的分量分别为\rho zcos\ \alpha dS，\rho zcos\ \beta dS，\rho zcos\ \gamma dS，\Sigma所受的\\\\ &\ \ 液体的总压力在各坐标轴上的分量等于上列各分量元素在\Sigma上的积分，由高斯公式可得\\\\ &\ \ F_x=\oiint_{\Sigma}\rho zcos\ \alpha dS=\iiint_{\Omega}\frac{\partial(\rho z)}{\partial x}dv=\iiint_{\Omega}0dv=0，\\\\ &\ \ F_y=\oiint_{\Sigma}\rho zcos\ \beta dS=\iiint_{\Omega}\frac{\partial(\rho z)}{\partial y}dv=\iiint_{\Omega}0dv=0，\\\\ &\ \ F_z=\oiint_{\Sigma}\rho zcos\ \gamma dS=\iiint_{\Omega}\frac{\partial(\rho z)}{\partial z}dv=\iiint_{\Omega}\rho dv=\rho V，\\\\ &\ \ 所以合力F=\rho Vk，力的方向铅直向上，大小等于被物体排开的液体的重力. & \end{aligned} 取液面为xOy面，z轴铅直向上，设液体的密度为ρ，在物体表面Σ上取面积元素dS，M(x, y, z)为dS上的一点 (z≤0)，Σ在点M处的外法线向量的方向余弦为cos α，cos β，cos γ，则dS所受液体的压力指向内法线方向 (−cos α, −cos β, −cos γ)，压力在x轴、y轴、z轴上的分量分别为ρzcos αdS，ρzcos βdS，ρzcos γdS，Σ所受的液体的总压力在各坐标轴上的分量等于上列各分量元素在Σ上的积分，由高斯公式可得 Fx=∬ Σρzcos αdS=∭Ω∂x∂(ρz)dv=∭Ω0dv=0， Fy=∬ Σρzcos βdS=∭Ω∂y∂(ρz)dv=∭Ω0dv=0， Fz=∬ Σρzcos γdS=∭Ω∂z∂(ρz)dv=∭Ωρdv=ρV，所以合力F=ρVk，力的方向铅直向上，大小等于被物体排开的液体的重力.