题目

传送门 to usOJ

题目概要
对于可重集合 SSS ，设其元素个数为 nnn ，显然它有 2n2^n2n 个子集。定义集合的权值为其中元素的异或和，求子集的权值的 kkk 次方的期望。即：∑s⊆Sf(s)k2n\frac{\sum_{s\subseteq S}f(s)^k}{2^n}2n∑s⊆Sf(s)k 的值，f(s)f(s)f(s) 是集合内元素的异或和。

数据范围与约定
n≤105,k≤5n\le 10^5,k\le 5n≤105,k≤5 。

思路

FBLWARNING：我将试着使用奇怪的文风去论述这个问题。\bf{FBL\;\;WARNING}：我将试着使用奇怪的文风去论述这个问题。FBLWARNING：我将试着使用奇怪的文风去论述这个问题。

刚看一眼，就被这道题给吓住了，nnn 很大，kkk 却小的可怜，555 站在 10510^5105 旁边，显得毫不起眼。但我们不着眼于出题人的区别对待，我们要拯救每一个 kkk ，让世界重新充满爱。

k=1k=1k=1 的时候，这道题变得平淡无奇，味同嚼蜡。所有的 fff 中，有一半都满足第 iii 位是一个 111 ，只要 SSS 中存在一个数字可以提供这个 111 。这是因为，这个数字是否出现，这件事不影响别人，它只负责自己的选择，就像 zxyzxyzxy 默默的 AKAKAK 。若夫它看到是 000 ，它便义无反顾地将自己融入整个群体；至若此值已经为 111 ，它不会出现在人们的视野中，好像从未出现过，又好像一直都在。
k=2k=2k=2 的时候，我们要做的是一个平方的选择。两个元素，虽然不在一个括号中，但是二人的心却在一起，这就是平方的真谛。二者何人？枚举则知。不是所有人都能够相遇，就像人生总会有很多遗憾。如果二者可以被独立抉择——存在一个数字，在第 iii 位为 111 而第 jjj 位为 000 ——那么二人是不容易遇到的，只有 12×12=14\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4}21×21=41 。如果不是独立抉择，就会翻倍，得到 12\frac{1}{2}21 了。
k≥3k\ge 3k≥3 的时候，我们终于可以大展拳脚了。我们有很多方法。我们可以利用答案小于 2632^{63}263 的特点，直接猜到 a≤222a\le 2^{22}a≤222 次方，求出线性基，然后暴力枚举。我们也可以继续学习 k=2k=2k=2 的方案。

我改悔了。

对于 k=2k=2k=2 ，我们拆位，将一个数字拆成很多个 222 的幂之和。然后平方就是选两个二进制位呗。

假设最大的一个二进制位是 2x2^x2x ，那么至少有一半的异或和不小于 2x2^x2x ，与 k=1k=1k=1 的情况类似。

所以答案至少有 12⋅(2x)k<263\frac{1}{2}\cdot(2^x)^k<2^{63}21⋅(2x)k<263 ，可以解出 x<64kx<\frac{64}{k}x<k64 ，然后就没了。

作乘法可能会爆 unsignedlonglongunsigned\;long\;longunsignedlonglong ，稍微打的骚一点就好了。

代码

// 湘妹儿，永远滴神！
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
typedef unsigned long long int_;
int_ readint(){int_ x; scanf("%llu",&x);return x; // cin就能兼容了[滑稽]
}int_ d[100];
void insert(int_ x){for(int i=63; i>=0&&x; --i)if(x>>i&1){if(d[i] == 0)d[i] = x;x ^= d[i];}
}int n, k, cnt; // 分母是pow(2,cnt)
int_ zheng, xiao; // 整数与小数
void dfs(int t,int_ now){if(t == -1){int_ res = 1; // 加入res*nowfor(int i=1; i<k; ++i)res *= now;int_ yu = res%(1<<cnt);res = res/(1<<cnt);// 变成了res*(1<<cnt)+yuzheng += res*now;xiao += yu*now;zheng += xiao/(1<<cnt);xiao = xiao%(1<<cnt);return ;}if(d[t]) dfs(t-1,now);dfs(t-1,now^d[t]);
}
int main(){n = readint(), k = readint();for(int i=0; i<n; ++i)insert(readint());int_ all = 0;for(int i=63; i>=0; --i)all |= d[i];if(k == 1){cnt = 1;zheng = all>>1;xiao = all&1;}if(k == 2){cnt = 2;for(int i=32; i>=0; --i)if(all>>i&1)for(int j=32; j>=0; --j)if(all>>j&1){bool apart = false;for(int o=32; o>=0; --o)if((d[o]>>i&1)^(d[o]>>j&1)){ apart = true; break; }int mom = (apart ? 1 : 0)+1;if(i+j >= mom)zheng += (1ull<<(i+j-mom));elsexiao += 1ull<<(i+j+cnt-mom);// 为了让分母pow(2,mom->cnt)zheng += xiao/(1<<cnt);xiao = xiao%(1<<cnt);}}if(k >= 3){for(int i=0; i<=63; ++i)if(d[i] > 0) ++ cnt;dfs(63,0);}printf("%llu",zheng);if(xiao) putchar('.');while(xiao *= 10){printf("%llu",xiao/(1<<cnt));xiao %= (1<<cnt);}return 0;
}

[BZOJ3811]玛里苟斯相关推荐

BZOJ3811: 玛里苟斯
BZOJ3811: 玛里苟斯 https://lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3811 分析: \(K=1\)可以随便做,每一位的贡献都是确定的,推一推可以发 ...
bzoj3811 玛里苟斯
分三种情况讨论 k=1时,对于每一位而言,只要有一个数这一位是1,那么这个就有0.5的概率是1,选他就是1,不选就是0,有第二个的话,在第一个选或不选的前提下,也各有0.5的几率选或不选,0和1的概率 ...
从我的游戏成瘾中恢复
重点 (Top highlight) I can play a video game for just an hour these days and then stop. I have no prob ...
自行车改装电动车怎么样_电动车听起来应该是什么样？
自行车改装电动车怎么样 The sound of an all-electric car accelerating doesn't have to sound like a standard comb ...
【BZOJ3811】玛里苟斯（线性基）
[BZOJ3811]玛里苟斯(线性基) 题面 BZOJ 题解 \(K=1\)很容易吧,拆位考虑贡献,所有存在的位出现的概率都是\(0.5\),所以答案就是所有数或起来的结果除二. \(K=2\)的情况 ...
【清华集训2014】【BZOJ3811】玛里苟斯
Description 魔法之龙玛里苟斯最近在为加基森拍卖师的削弱而感到伤心,于是他想了一道数学题. S 是一个可重集合,S={a1,a2,-,an}. 等概率随机取 S 的一个子集 A={ai1,- ...
【BZOJ3811】【清华集训2015】玛里苟斯（线性基）
传送门解析: 还是挺好想的,首先对于k=1的情况,如果某一个数在这一位上有1,那么最终结果中这一位为1的概率就是0.5. 有一个很显然的性质,所有异或结果出现概率(或者说方案数)相同. 其次,对于k ...
[BZOJ3811][UOJ#36][清华集训2014]玛里苟斯（期望 + 线性基）
Address BZOJ 3811 UOJ #36 Solution 看到异或,首先想到拆位下面 xor ( A ) \text{xor}(A) xor(A) 表示子集 A A A 的异或和, b ...
[BZOJ 3811]玛里苟斯(线性基)尽量理解的题解
文章目录 title solution code title 魔法之龙玛里苟斯最近在为加基森拍卖师的削弱而感到伤心,于是他想了一道数学题. S 是一个可重集合,S={a1,a2,-,an}. 等概率随 ...

[BZOJ3811]玛里苟斯

题目

思路

代码

[BZOJ3811]玛里苟斯相关推荐

最新文章

热门文章