向量的2-范数、矩阵的2-范数

2024-05-11 06:59:23

向量的2-范数、矩阵的2-范数

向量的2-范数
矩阵的2-范数

向量的2-范数

α \alpha α是一个行向量， α ⋅ α H = ∥ α ∥ 2 \alpha \cdot {\alpha ^H} = {\left\| \alpha \right\|^2} α⋅αH=∥α∥2，等式左边是向量内积，右边是向量的2-范数，表示向量元素绝对值的平方和再开方，即向量的模。
显然有， ∣ α ⋅ α H ∣ 2 = ∥ α ∥ 4 {\left| {\alpha \cdot {\alpha ^H}} \right|^2} = {\left\| \alpha \right\|^4} ∣∣α⋅αH∣∣2=∥α∥4。

α 2 = ∣ α ∣ 2 = α ⋅ α H {\alpha ^2} = {\left| \alpha \right|^2} = \alpha \cdot {\alpha ^H} α2=∣α∣2=α⋅αH，向量的平方等于模的平方。这里应注意数学符号的表示。

举例：matlab中相关函数

% 定义一个向量
a=[1 j]

a =

1.0000 + 0.0000i 0.0000 + 1.0000i

% 向量2-范数
norm(a)

ans=
1.4142
这里向量2-范数就是取模运算，等价于sqrt(sum(abs(a)))

% 向量内积
a*a'

ans=
2
注意，这里a’表示共轭转置，普通转置是a.’
也可以写成 a.*a

% 向量点积
dot(a,a)

ans=2

矩阵的2-范数

2-范数：谱范数，即A’A矩阵的最大特征值的开平方
F-范数：Frobenius范数，即矩阵元素绝对值的平方和再开平方，可能经常用到是这个。

// A code block
A=[1 2; 3 4];
norm(A,'fro')^2

ans=30

若有错误，日后更改！‘~’

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